¿Son las categorías ${\bf{Sets}}/2$ y ${\bf{Sets}} \times {\bf{Sets}}$ ¿Isomorfo? Ejercicio de Awodey

Question

Dejemos que $2=\{a,b\}$ sea cualquier conjunto con exactamente $2$ elementos $a$ y $b$ . Definir un functor $F: {\bf{Sets}}/2\rightarrow{\bf{Sets}}\times{\bf{Sets}}$ con $F(f:X\rightarrow 2)=(f^{-1}(a),f^{-1}(b))$ . ¿Es un isomorfismo de categorías?

Esto es algo que he hecho: En ${\bf{Sets}}/2$ , dejemos que $h:X\rightarrow\{a,b\}$ tal que $h^{-1}(a)\not=\emptyset$ y $h^{-1}(b)\not=\emptyset$ y que $f:X\rightarrow\{a,b\}$ tal que $f^{-1}(a)=X$ y $f^{-1}(b)=\emptyset$ . Entonces no hay ninguna flecha entre $f$ y $h$ en ${\bf{Sets}}/2$ pero hay una flecha entre $F(f)=(X,\emptyset)$ y $F(h)=(h^{-1}(a),h^{-1}(b))$ en ${\bf{Sets}}\times{\bf{Sets}}$ por lo que estas dos categorías no son isomorfas.

¿Está bien este razonamiento?

Soy un completo novato en la teoría de las categorías.

Answer 1

Su argumento no es correcto. De hecho, $F$ es totalmente fiel.

Definir un functor $G : \mathsf{Set} \times \mathsf{Set} \to \mathsf{Set} / \{a,b\}$ mediante la asignación de dos conjuntos $A,B$ a la función $G(A,B) : A \coprod B \to \{a,b\}$ que mapea los elmenets de $A$ a $a$ y los elementos de $B$ a $b$ . Aquí, $A \coprod B= A \times \{1\} \cup B \times \{2\}$ es la construcción estándar de la unión disjunta. Entonces tenemos $FG \cong \mathrm{id}$ y $GF \cong \mathrm{id}$ . Por lo tanto, $F$ es una equivalencia de categorías.

Pero $F$ no es un isomorfismo. De hecho, $F$ no es sobreyectiva en los objetos. Si $A,B$ son dos conjuntos que no son disjuntos, entonces $(A,B)$ no se encuentra en la imagen de $F$ . (Sin embargo, hay que tener en cuenta que $F$ radica en la imagen esencial de $F$ .)

Esto es lo que pienso sobre esto: La noción de "isomorfismo de categorías" pertenece a $0$ -teoría de las categorías $\approx$ teoría de conjuntos. Es demasiado fuerte para explicar varias "igualdades estructurales de categorías". Una noción que se comporta mucho mejor es la de "equivalencia de categorías". Sólo que ésta pertenece a $1$ -teoría de las categorías. Si $A,B$ son dos conjuntos, entonces la propiedad de que $A,B$ son disjuntos no puede formularse en términos de teoría de las categorías, ya que esta propiedad no es invariable bajo autoequivalencias de $\mathsf{Set} \times \mathsf{Set}$ . De hecho, podemos hacer $A,B$ disjuntos sustituyéndolos por $A^* = A \times \{1\}$ y $B^* = B \times \{2\}$ . Entonces $(A,B) \cong (A^*,B^*)$ en $\mathsf{Set} \times \mathsf{Set}$ . En la teoría de categorías, para afirmar que dos objetos $A,B$ son disjuntos, necesitamos un objeto mayor $S$ que contiene ambos. Entonces su intersección viene dada por el pullback $A \times_S B$ y $A,B$ se llaman disjuntos cuando este pullback es un objeto inicial. En la teoría de conjuntos, a menudo se imagina el universo $V$ para ser una especie de objeto universal que contiene todos los demás objetos de consideración. Cada conjunto tiene entonces una incrustación única en $V$ . En la teoría de las categorías, sin embargo, hay que recordar realmente todas las incrustaciones. En particular, hay un punto de vista completamente diferente sobre los subconjuntos. Para más información, véase SE/704593 y SE/295800 . En mi opinión, la teoría de las categorías es el mejor lenguaje para explicar la matemática estructural.

Answer 2

Me temo que su argumento no es correcto: hay morfismos de $f$ a $h$ .

Sugerencia: Quizás $F$ no es un $isomorphism$ de categorías, sino algo un poco más débil?