Podemos resolver (obtener algún tipo de respuesta) ecuaciones como:
$$ ax^2 + bx + c=0$$
$$ax^3 + bx^2 + cx + d=0$$
$$ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e=0$$
Pero, ¿por qué no hay una fórmula para una ecuación como $$ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f=0$$
No estoy seguro de si esto tiene algo que ver con la teoría de Galois, pero hay un idiotizada explicación simple de por qué grado 5 polinomios (y) son irresolubles?
Voy a probar un "atontada", aunque @Robert Israel respuesta más comentarios están bien!
Solucionable significa resolubles por radicales, y que significa que, a partir de la ecuación polinómica, solo se puede hacer 1) campo de la aritmética $(+,-,\times,\div)$, o 2) "la extracción de raíces; por ejemplo, las raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc. Éste es el caso, por Abel-Ruffini primero y luego por Galois, que no se da una "fórmula" para la solución de los polinomios de grado por encima de 4. Ingenuamente, que sugiere que la fórmula se vuelve "demasiado complicado" en algún momento. @paul garrett se mete en esto cuando se refiere a la resolvent, que es un paso que puede simplificar la solución de si el resolvent polinomio es de grado inferior.
Galois se encontró que la manera de medir "es demasiado complicado", por la comprobación de que las raíces del polinomio se puede "cambiar todo", o permutada, mientras que el mantenimiento de ciertas ecuaciones de las raíces. Por ejemplo, si usted está trabajando a través de los números racionales, entonces usted no puede cambiar alrededor de cualquier número racional sin necesidad de cambiar las relaciones importantes. Que parece obvio. Pero lo que podría parecer extraño es que para un polinomio como $x^2-2$, cuyas raíces se $\sqrt2$$-\sqrt2$ , usted puede cambiar estos a su alrededor y no daño a cualquier otro aritmética!
La manera de formalizar lo que significa "cambiar todo" raíces se cree teoría de grupos, y hay un grupo que corresponde a cómo las raíces de un polinomio puede ser conectado a su alrededor se llama el grupo de Galois. Por último, si este grupo es "demasiado complicado" (es decir, demasiado muchas maneras para permutar las raíces), luego de que el grupo y su correspondiente polinomio no son resolubles por radicales. En el caso de 5to grado de los polinomios, si fuera posible "invertir" el polinomio $x^5-x-1$ (es decir, resolver directamente como podemos $x^5$), creo que esto es todo lo que necesitábamos para todos los de 5to grado de los polinomios a ser resolubles por radicales. Así que como ves, es sólo un "poco" demasiado complicado, y empeora a medida que el grado aumenta.
Estoy dejando un montón de detalles, pero las otras respuestas y enlaces de llenar los detalles. Pero espero que esto le da un sabor si lo que está pasando.
Vamos a las raíces de una ecuación ser a, B, C, etc. Se nos dice que el unsolvability de la general quintic ecuación está relacionado con la unsolvability de los asociados Galois grupo, el grupo simétrico en los cinco elementos. Creo que puedo decir lo que esto significa en un nivel intuitivo.
Durante tres elementos a, B, y C, puede crear estas dos funciones:
AAB + BBC + CCA
ABB + BCC + CAA
Estas funciones tienen la interesante propiedad de que no importa cómo reorganizar las letras a, B y C, se obtiene de nuevo las mismas funciones que empezó. Usted puede revertir ellos (como lo haría si usted acaba de intercambio a y B) o ambos pueden quedarse (como ocurriría si se rota a a B a C) pero, de cualquier manera de llegar a ellos de nuevo.
Para los cuatro elementos, algo similar sucede con estas tres funciones:
AB + CD
AC + BD
AD + BC
No importa cómo usted reorganización a, B, C y D, se obtiene de estas tres funciones de la espalda. Ellos pueden ser re-organizado, o que podría quedarse, pero de cualquier manera de llegar a ellos de nuevo.
De los cinco elementos, no existe ningún grupo de este tipo de funciones. Bueno, no exactamente...hay un par de grandes funciones, que consta de sesenta términos de cada uno de los que trabaja, similar a la que me sacó de la ecuación cúbica...pero eso es todo. No hay grupos de funciones con tres o especialmente cuatro elementos, que es lo que en realidad quieren.
Si intenta crear funciones en cinco cartas con esta propiedad de simetría, te voy a convencer a ti mismo que es imposible. Pero, ¿cómo puede usted probar que es imposible? Usted probablemente necesite un poco más de teoría de grupos para que. Pero en cuanto a la "simple" explicación de por qué usted no puede resolver el quinto grado, es realmente todo acerca de esas funciones.
Para elaborar esta en un poco más de detalle: Para el tercer grado de la ecuación, se identificaron las siguientes funciones:
AAB + BBC + CCA = p
ABB + BCC + CAA = p
A, B y C son las raíces de un cúbicos, pero p y q son las raíces de una ecuación cuadrática. Se puede ver que debido a que si se mira pq y (p+q), de la escuela primaria simétrica polinomios p y q, verás que son simétricos de a, B y C. por Lo que son fácilmente expresables en términos de los coeficientes de nuestros original de la ecuación cúbica. Y es por eso que p y q son la piedra angular que nos lleva a las raíces de la cúbico.
Del mismo modo, para el cuarto grado, se identificaron las siguientes funciones:
AB + CD = p
AC + BD = p
AD + BC = r
Usted puede volver a escribir el párrafo anterior, palabra por palabra, pero acaba de tomar todo lo que hasta un cierto grado, y es verdad. A, B, C, y D son las raíces de un cuarto grado, pero p,q y r son las raíces de un cúbicos. Usted puede ver que debe ser porque si nos fijamos en la escuela primaria, el simétrico de los polinomios p, q y r, verás que son simétricos de a, B, C y D. por Lo que son fácilmente expresables en términos de los coeficientes de nuestros original de la ecuación de cuarto grado. Y es por eso que ellos son la piedra angular que nos lleva a las raíces de la cuártica.
Y la razón simple de por qué el quinto grado de la ecuación es irresoluble es que no hay otros análogos conjunto de cuatro funciones en Una, B, C, D, y E, que se conservan bajo permutaciones de las cinco cartas.
Esto fue muy bien entendido por Lagrange cincuenta años antes de la teoría de Galois hizo un "riguroso". Tiene que ver con la algebraicas trucos en la cual usted se fue de, digamos, B y C, p y q. Se trata de la toma de las funciones lineales que mezcla a B y C con las raíces cúbicas de la unidad y de examinar el cubo de esas funciones. Es un proceso reversible, así que usted puede trabajar hacia atrás de la otra manera (tomando raíces cúbicas de funciones p y q) para resolver el cúbicos. Una muy similares truco funciona para el cuarto grado. Creo Lagrange fue capaz de demostrar de manera concluyente que el mismo truco no funciona para el quinto grado...que es el "intuitiva" de la prueba. La "rigurosa" de la prueba habría tenido que muestran que, en ausencia de la obvia trucos (análoga a la de 3er y 4to grado), no había otros posibles trucos que usted puede venir para arriba con.
Tiene todo que ver con la teoría de Galois, aunque el original de la prueba precedido Galois.
Consulte este artículo de la Wikipedia sobre el teorema de Ruffini.
Yo no creo que hay un "idiotizada simple explicación".
El topológica de la prueba por Arnold es más fácil de entender. Una versión abreviada se explica en http://www.youtube.com/watch?v=zeRXVL6qPk4 Esto requiere que (sólo) el conocimiento de los números complejos y sus raíces.
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