El problema: $f$ sea una función sobre $[0,1]$ tal que $f(0)=f(1)=1$ y $f(a)-f(b) < |a-b|$ para todos $a$ no es igual a $b$ . Demostrar que $|f(a)-f(b)| < \frac{1}{2}$ .
Mi intento: Lo que he observado es que la pendiente de cualquier cuerda que une dos puntos cualesquiera de la curva está entre -1 y 1.
También observo que la función es continua.
Intenté demostrar que el si $f(x_1)$ y $f(x_2)$ son el máximo y el mínimo global, respectivamente, entonces $f(x_1)-f(x_2)<\frac{1}{2}$ . Pensé que esto sería fácil de mostrar y el enfoque correcto, ya que no sólo es equivalente al problema, sino que también estamos utilizando el hecho de que los máximos y mínimos globales existen. Sin embargo, no he podido demostrarlo. Sólo pude mostrar $f(x_1)-f(x_2) < 1+x_1-x_2$ que es aún más débil que lo que se nos da.
Este problema es de un simulacro de examen que di, así que en caso de que el enunciado del problema sea incorrecto me disculpo.
Por favor, ayuda.
