¿Por qué la naturaleza prefiere los hexágonos?

Question

La mejor relación de superficie a volumen en el espacio tridimensional es la pelota.

Esto se puede observar fácilmente con burbujas de jabón, gotas de lluvia, etc. Ellos "eligen" esta forma de forma natural.

Dado un espacio restringido, las burbujas de jabón "eligen" la forma del hexágono. El hexágono se puede observar en otros ejemplos, también, como panales.

¿Hay una razón matemática para eso? ¿Por qué no hay siete, ocho, nueve bordes? (todo lo que se acerca a un círculo)

Answer 1

Patrones hexagonales ocurrir en dos dimensiones esencialmente. Considere la posibilidad de un infinte conjunto de puntos (vértices) en el plano acompañado por los bordes, formando un infinito gráfico.

Podemos ignorar los vértices de grado 1 (callejones sin salida) y de grado 2 (no se distingue desde un punto de borde). También podemos ignorar el caso de grado $\ge 4$ como tantas aristas incidentes con un vértice sería muy casual. Por lo tanto todos los vértices tienen grado $3$. Ahora si vamos a recortar algunos de grande pero finito parte de este infinito graoh con $v$ vértices, $e$ bordes y $f$ caras, luego de Euler dice que $v+f=e+2$. La corte va a girar alrededor de $\sqrt v$ vértices (decir $c\sqrt v$ para algunos pequeños $c$) en grado $2$ vértices. Contando con borde vértice incidencias, nos encontramos con $3v-c\sqrt v=2e$. El corte producido una cara externa que es un $c'\sqrt v$-gon para algunos pequeños $c'\ge c$. Para $\nu=3,4,\ldots$, vamos a $f_\nu$ el número de $\nu$-gonal caras, aparte de que la cara exterior. A continuación,$1+\sum f_\nu=f$$c'\sqrt v+\sum\nu f_\nu=2e$. Conéctalo a Euler para obtener $$ 12 = 6f+6v-6e=\sum(6-\nu)f_\nu+6+(2c-c')\sqrt v.$$ Especialmente, $f\approx \frac12v$ $v$ se pone grande y cada una de las $\nu$-gon con $\nu>6$ debe ser "cancelado" por una $5$-gon o inferior. De hecho, cualquier $\nu>10$ requiere de al menos dos pequeñas-ágonos y por lo tanto debe ser algo inusual.

Así que incluso en patrones irregulares (como oppoesed a los panales de miel), la (irregular) hexágono es la media de y (a pesar de que no sigue inmediatamente a partir de la anterior) la dominante/forma normal.