¿Cuál es la intuición detrás de una función de indicador?

Question

• ¿Qué es un Indicador de la función?

• ¿Qué es la intuición detrás de un Indicador de la función?

• ¿Por qué es la función del indicador de $I_A$ necesaria en el siguiente ejemplo?

• Puede el ejemplo siguiente puede escribirse sin el uso de la función de indicador?

Deje $A$ ser de cualquier evento. Podemos escribir $\Bbb P(A)$ como una expectativa, como de la siguiente manera:

Definir la función de indicador:

$$ I_A = \begin{cases} 1, & \text{if event $$ Se produce} \\ 0, & \text{en caso contrario} \end{casos} $$

A continuación, $I_A$ es una variable aleatoria, y

$$ \Bbb E(I_A) = \sum_{i=0}^1 r \cdot \Bbb P(I_A = r) \\ = \Bbb P(A). $$

Así

$$ \Bbb P(A) = \Bbb E(I_A). $$

Answer 1

No creo que se puede ir más intuitiva acerca de él, a continuación, decir una vez más lo que hace: devuelve $1$ por algo que te interese, y $0$ para todos los otros casos.

Así que si usted desea contar ojos azules, personas, puede utilizar el indicador de función que devuelve para cada uno de ojos azules persona y cero de otra manera, y la suma de los resultados de la función.

Como acerca de la probabilidad se define en términos de expectativa e indicador de la función: si se divide el recuento (o la suma de los) por el número total de casos, se obtiene la probabilidad. Pedro Whittle en sus libros de Probabilidad y Probabilidad a través de la Expectativa escribe mucho acerca de la definición de probabilidad como este, e incluso considera que dicho uso del valor esperado y el indicador de función como uno de los aspectos más básicos de la teoría de la probabilidad.

Sobre tu pregunta en el comentario

no es la Variable Aleatoria allí para servir el mismo propósito? Como $H=1$ y $T=0$?

Bueno, sí lo es! De hecho, en las estadísticas que el uso del indicador de función para crear nuevas variables aleatorias, por ejemplo, imagina que tienes aleatorias distribuidas normalmente variable $X$, entonces usted puede crear una nueva variable aleatoria utilizando la función de indicador, dicen

$$ I_{2<X<3} = \begin{cases} 1 & \text{if} \quad 2 < X < 3 \\ 0 & \text{otherwise} \end{casos} $$

o usted puede crear una nueva variable aleatoria utilizando dos de Bernoulli distribuido variables aleatorias $A,B$:

$$ I_{Un\ne B} = \begin{cases} 0 & \text{if } & A=B, \\ 1 & \text{if } & A \ne B \end{casos} $$

...por supuesto, usted podría utilizar cualquier otra función para crear la nueva variable aleatoria. Indicador de función es útil si desea centrarse en algún evento específico y apuntar cuando sucede.

Para un físico de la función del indicador de imaginar que usted marcó uno de los muros de dados de seis lados el uso de pintura roja, por lo que ahora puede contar rojo y no rojo de los resultados. No es menos aleatorio ellos los dados, mientras que es una nueva variable aleatoria que define los resultados de manera diferente.

Usted también podría estar interesado en leer acerca de delta de Dirac que se utiliza en la probabilidad y la estadística como un continuo de la contraparte de un indicador de función.

Ver también: ¿por Qué 0 para el fracaso y 1 para el éxito en una distribución de Bernoulli?

Answer 2

Indicador variables aleatorias son útiles, ya que proporcionan una conexión sin fisuras entre la probabilidad y la expectativa. Considerar lo fácil que es para probar la desigualdad de Markov con la ayuda del indicador variables aleatorias: vamos a $X$ ser una variable aleatoria no negativa, $\alpha > 0$ y, a continuación, anote el trivial de la desigualdad de $\alpha I_{\{ X \geq \alpha \}} \leq X$. A continuación, podemos simplemente tomar una expectativa de ambos lados y hacer algo de álgebra para obtener $P(X \geq \alpha) \leq \text{E}(X) / \alpha$. Otras pruebas, como la de la inclusión-exclusión de la fórmula, también hacen uso de esta conexión. De hecho, toda la teoría de la probabilidad condicional puede ser desarrollado a partir de la teoría de la esperanza condicional debido a esto.

Son también muy agradable en el que están idempotente significado $I_A^2 = I_A$, y esto hace que el cálculo de las desviaciones de fácil. Además, los productos de indicador variables aleatorias son en sí mismos indicador variables aleatorias cuya expectativa es la probabilidad de la intersección.

Por último, aunque en realidad no probabilística cosa, funciones de los indicadores son una buena manera de traducir las operaciones Booleanas en la aritmética, que es útil para la programación en general a los efectos. Por ejemplo, $I_{A \cup B} = \max(I_A, I_B)$$I_{A \cap B} = \min(I_A, I_B)$.