¿Cómo mostrar que el operador% Laplacian$p-$ es monótono?

Question

Definir$$\langle -\Delta_p u, v \rangle_{(W^{1,p})', W^{1,p}} = \int_{\Omega}|\nabla u |^{p-2}\nabla u \nabla v.$ $

¿Cómo muestro que este operador es monótono? Obtengo$$\langle-\Delta_p u_1 - \Delta_p u_2, u_1-u_2\rangle = \int(\nabla u_1 - \nabla u_2)(|\nabla u_1|^{p-2}\nabla u_1 - |\nabla u_2|^{p-2}\nabla u_2) $ $ Ahora, sumar y restar$|\nabla u_1|^{p-2}\nabla u_2$ en los corchetes todavía no ayuda con ninguno de los términos ...

(Recuerde que un operador es monótono si$\langle Tx - Ty, x-y\rangle \geq 0.$)

Answer 1

Deje $x,y\in \mathbb{R}^N$ y tenga en cuenta que $$\tag{1}|x|^{p-2}x-|y|^{p-2}y=\int_0^1\frac{d}{dt}\left(|y+t(x-y)|^{p-2}(y+t(x-y))\right)dt$$

Mediante el cálculo de la derivada, llegamos a la conclusión de $(1)$ que $$\tag{2}|x|^{p-2}x-|y|^{p-2}y=(y-x)\int_0^1|y+t(y-x)|^{p-2}dt+\\+ (p-2)\int_0^1|y+t(y-x)^{p-4}|\langle y+t(y-x),x-y\rangle(y+t(y-x))dt$$

Se desprende de lo $(2)$ que $$\tag{3}\langle |x|^{p-2}x-|y|^{p-2}y,x-y\rangle =|x-y|^2\int_0^1|y+t(y-x)|^{p-2}dt+\\ +(p-2)\int_0^1|y+t(y-x)|^{p-4}\langle y+t(y-x),x-y\rangle^2dt$$

Si $p\geq 2$, entonces llegamos a la conclusión de que la positividad de $(3)$. Si $p<2$, se nota que

$$\int_0^1|y+t(y-x)|^{p-4}\langle y+t(y-x),x-y\rangle^2dt\leq|x-y|^2\int_0^1|y+y(y-x)|^{p-2}$$

que de nuevo implica la positividad. Me gustaría resaltar que, de hecho, tenemos una más Fuerte de la desigualdad (que se utiliza, por ejemplo, en la demostración de que $-\Delta_p$$S_+$)

$$\langle |x|^{p-2}x-|y|^{p-2}y,x-y\rangle \geq \left\{ \begin{array}{cc} c_p|x-y|^p &\mbox{ if %#%#%} \\ c_p\frac{|x-y|^2}{(|x|+|y|)^{2-p}} &\mbox{if %#%#%} \end{array} \right. $$

donde $p\geq 2$ es una constante. Para esta fuertemente la desigualdad de ver las notas de Ireneo Peral en el Apéndice.

Answer 2

Hemos seguido la idea de Keeran a partir de los comentarios: para$p \ge 2$:$\def\sp#1{\left\langle#1\right\rangle}\def\abs#1{\left|#1\right|}\def\Lp{\Delta_p}\def\np#1{\abs{\nabla #1}^{p-2}}$ \begin{align*} \sp{-\Lp u_1 + \Lp u_2, u_1 - u_2} &= \int_\Omega \bigl(\np{u_1}\nabla u_1 - \np{u_2}\nabla u_2\bigr)(\nabla u_1 - \nabla u_2)\\ &= \int_\Omega \abs{\nabla u_1}^p - \bigl(\np{u_1}+\np{u_2}\bigr)\nabla u_1\nabla u_2 + \abs{\nabla u_2}^p\\ &\ge \int_\Omega \abs{\nabla u_1}^p + \abs{\nabla u_2}^p - \frac 12\bigl(\np{u_1} + \np{u_2}\bigr)\bigl(\abs{\nabla u_1}^2 + \abs{\nabla u_2}^2\bigr)\\ \def\nn#1#2{\abs{\nabla #1}^{#2}} &= \frac 12 \int_\Omega \nn{u_1}p + \nn{u_2}p - \np{u_1}\nn{u_2}2 - \np{u_2}\nn{u_1}2\\ &= \frac 12 \int_\Omega \bigl(\np{u_1} - \np{u_2}\bigr)\bigl(\nn{u_1}2 - \nn{u_2}2\bigr)\\ &\ge 0. \end {align *}. Para la desigualdad final que utilizamos,$x\mapsto x^2$ y$x \mapsto x^{p-2}$ son aumentando monótonamente en$\mathbb R$.