Usar una integral de contorno para evaluar$\int^\infty_0 \frac{(\log(x))^2}{x^2+1}\,dx $

Question

Digamos que queremos evaluar $\int^\infty_0 \frac{(\log(x))^2}{x^2+1}\,dx $ a través de la integración de más de un complejo de contorno.

Mi profesor dice que el uso de la función $f(z) = \frac{(\log(z) - \frac{i \pi}{2})^2}{z^2+1}\ $ con la rama de corte a lo largo de la negativa del eje imaginario sobre el siguiente perfil:

Entiendo que el contorno de la elección: se incluye el $i$ polo tomar el residuo de, y evitamos la rama de corte. Sin embargo, no entiendo la intuición detrás de por qué hemos de cambiar la función de$\log(z)$$\log(z) - \frac{i \pi}{2}$. ¿Por qué es beneficioso para nosotros?

Answer 1

Tenga en cuenta que con la rama de corte a lo largo del eje real negativo, vemos que a lo largo del eje real positivo

$$(\log(z)-i\pi/2)^2=\log^2(|x|)-i\pi\log(|x|)-\pi^2/4$$

mientras que a lo largo del eje real negativo

$$(\log(z)-i\pi/2)^2=\log^2(|x|)+i\pi\log(|x|)-\pi^2/4$$

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Es fácil mostrar que $\int_{-\infty}^0 \frac{\log^2(|x|)}{1+x^2}\,dx=\int_0^{\infty} \frac{\log^2(|x|)}{1+x^2}\,dx$.

Por lo tanto, $\int_{-\infty}^\infty \frac{(\log(x)-i\pi/2)^2}{x^2+1}\,dx=2\int_0^\infty \frac{\log^2(x)}{x^2+1}\,dx-\frac12 \pi^2\int_0^\infty \frac{1}{x^2+1}\,dx$. Así, la cruz de término que involucra $\log(x)$ hay involucrados.

Tenga en cuenta que había analizamos $\oint_C \frac{\log^2(z)}{z^2+1}\,dz$, necesitamos evaluar la integral de la $\int_0^\infty \frac{\log^2(x)}{x^2+1}\,dx$. Sin embargo, después de hacer cumplir la sustitución de $x\to 1/x$, podríamos fácilmente encontrar que esta integral es $0$.

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Por lo tanto, tenemos

$$\begin{align} \oint_C \frac{(\log(z)-i\pi/2)^2}{z^2+1}\,dz&=2\int_\epsilon^R \frac{\log^2(x)}{x^2+1}\,dx-\frac12\pi^2\underbrace{\int_\epsilon^R \frac{1}{x^2+1}\,dx}_{\to -\pi^3/4\,\text{as}\,\epsilon\to 0\,\text{and}\,R\to\infty}\\\\ &+\underbrace{\int_\pi^0 \frac{\log^2(\epsilon e^{i\phi})}{(\epsilon e^{i\phi})^2+1}\,i\epsilon e^{i\phi}\,d\phi}_{\to 0\,\text{as}\,\epsilon\to 0}+\underbrace{\int_0^\pi \frac{\log^2(R e^{i\phi})}{(R e^{i\phi})^2+1}\,i R e^{i\phi}\,d\phi}_{\to 0\,\text{as}\,R\to \infty}\\\\ &=2\pi i \text{Res}\left(\frac{(\log(z)-i\pi/2)^2}{z^2+1}, z=i\right)\\\\ &=0 \end{align}$$

Tenga en cuenta que habíamos analizado la integral de la $\oint_C \frac{\log^2(z)}{z^2+1}\,dz$, el residir no sería cero. Sin embargo, esto no plantea ningún reto importante o complicación.

Por lo tanto, como $\epsilon\to 0$ $R\to \infty$ vemos que

$$\int_0^\infty \frac{\log^2(x)}{x^2+1}\,dx=\frac{\pi^3}{8}$$

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Aunque el análisis de la integral de la $\oint_C \frac{(\log(z)-i\pi/2)^2}{z^2+1}\,dz$ facilita el análisis en que nos renunciar a la necesidad de evaluar la integral de la $\int_0^\infty \frac{\log^2(x)}{x^2+1}\,dx=0$, esto no parece añadir ningún beneficio significativo de la eficacia a través del análisis de la integral de la $\oint_C \frac{\log^2(z)}{z^2+1}\,dz$.