El orden de un módulo p.

Question

Si$p$ es primo y$\operatorname{ord}_p(a)=4$, entonces$1+a+a^2+a^3≡ 0\bmod p$, donde$\operatorname{ord}_p(a)$ es el orden de$a$ modulo$p$.

Creo que es una declaración verdadera

$\operatorname{ord}_p(a)=4$, entonces $a^4≡1\bmod p$

desde entonces $a^4-1≡0\bmod p$

es eso correcto por favor?

Answer 1

$a^4-1 \neq 1+a+a^2+a^3$, pero es verdad que$a^4-1=(a-1)(a^3+a^2+a+1)=0 \mod p $, y como no hay divisores cero, tampoco $a=1$, en cuyo caso su orden no puede ser$4$, o, como concluye :$(a^3+a^2+a+1)=0$

Answer 2

También puede encontrar esto directamente, ya que$4$ es convenientemente pequeño.

Como$p$ es primo, hay dos raíces de$1$:$\{1,-1\}$. Como$(a^2)^2\equiv 1$ pero$a^2\not\equiv 1 \bmod p$ debemos tener$a^2\equiv \color{red}{-1} \bmod p$. Entonces $a^3\equiv a^2\cdot a \equiv \color{blue}{-a} \bmod p$.

Por lo tanto$1+a+a^2+a^3\equiv 1+a+ \color{red}{-1}+ \color{blue}{-a} \equiv 0\bmod p$.