La geodésica cerrada en el espacio diffeomórfico a$S^{2n}$ con curvatura positiva en la sección siempre contiene un punto conjugado.

Question

De referencia; un cerrado geodésica es una geodésica que es un circuito cerrado, que es suave en el origen.

Se me ha pegado en esto por un par de días; el único teorema he relativas a incluso dimensión tiene que ver con orientability, por lo que parece que no hay nada que yo pueda hacer con eso. El hecho de que se trata de una aun dimensiones de la esfera hace que parezca que voy a tener que usar el hecho de que no hay ningún no-desaparición de campo vectorial, pero no estoy seguro de cómo hacer este trabajo.

Es posible que yo pueda tener algunos consejos?

Answer 1

De manera más general, si$M$ es una variedad riemanniana de curvatura seccional$\ge \kappa>0$, entonces cada geodésica cerrada en$M$ tiene puntos conjugados. Este es un corolario directo del Teorema de comparación de Rauch, donde se compara$M$ con la esfera de 2 equipada con la métrica de curvatura constante$=\kappa$. Mi referencia favorita para el RCT es "Geometría Riemanniana" de Carmo, ver Thm. 2.3 y Prop. 2.4, Capítulo 10.