Deje $E\subset \mathbb{R}$ ser un conjunto de positivo de la medida de Lebesgue. Se supone que si $x,y\in E$$\frac{x+y}{2}\in E$. Demostrar que $E$ tiene al menos un punto interior.
Aquí es lo que he hecho:
(1). Por la regularidad, para cualquier $\epsilon>0$ podemos encontrar un conjunto abierto $O_\epsilon$ tal que $E\subseteq O_\epsilon$ $m(O_\epsilon)-m(E)<\epsilon.$ Escritura $O_\epsilon$ como distinto de la unión de intervalos abiertos $\{I_j\}$ $$O_\epsilon=\bigsqcup_{j=1}^\infty I_j$$
(2). WLOG podemos hacer la indexación de tal manera que $I_{j+1}$ es el siguiente intervalo de a $I_j$ (en el sentido de que $I_{j+1}$ está en el derecho de $I_j$ e no es $I_k$ que está entre $I_j$$I_{j+1}$.)
(3). Si al menos uno de los $I_j\subseteq E$, entonces hemos terminado. Así que supongamos que $I_j\subsetneq E$ todos los $j$. Eligió un $I_j$ y escoger un punto de $x\in I_j\cap E$. Eligió $y\in I_{j+1}\cap E$. Ahora $z=\frac{x+y}{2}\in E$ y gracias a la indexación, $z\in I_j$ o $z\in I_{j+1}.$ WLOG podemos asumir que $z\in I_j$.
(4) Ahora tenemos dos puntos de $x,z\in I_j$. Podemos recoger de forma recursiva los puntos medios en la línea que une a $x$ $z$ y todos estos puntos serán en $E$. (Primera pick $\frac{x+z}{2}$, a continuación, elija $\frac{x+\frac{x+z}{2}}{2}$ $\frac{z+\frac{x+z}{2}}{2}$ y así sucesivamente)
(5). Mi conjetura es que uno de los puntos medios (construida en el paso anterior) en la línea que une a $x$ $z$ será un punto interior. Pero no sé si mi suposición es correcta.
Me estoy moviendo en la dirección correcta? Es allí una manera diferente de resolver este problema?
