El Biharmonic Autovalor Problema con Condiciones de Contorno de Dirichlet en un Rectángulo

Question

Estoy interesado en la solución de la siguiente biharmonic autovalor problema.

$$\begin{array}{cccc} & \Delta ^2 \Psi (x,y) = \lambda \Psi (x,y), & - a \le x \le a & - b \le y \le b \\ & x = a & \Psi = 0 & \dfrac{\partial \Psi }{\partial x} = 0 \\ & x = - a & \Psi = 0 & \dfrac{\partial \Psi }{\partial x} = 0 \\ & y = b & \Psi = 0 & \dfrac{\partial \Psi }{ \partial y} = 0 \\ & y = - b & \Psi = 0 & \dfrac{\partial \Psi }{ \partial y} = 0 \end{array} $$

donde

$$ \Delta ^2 \Psi = \frac{\partial ^4 \Psi }{\partial x^4} + 2 \frac{\partial^4 \Psi }{\partial x^2 \partial y^2} + \frac{\partial ^4 \Psi }{\partial y^4}$$

$$\Psi \in {{\bf{C}}^{\infty}}\left( {[ - a,a] \times [ - b,b]} \right)$$

Para describir el problema en palabras, estamos en busca de las funciones propias de la biharmonic operador sobre una planta rectangular de dominio donde todos sus derivados son continuas. Las condiciones de frontera son de tipo Dirichlet, es decir, la función y es normal que los derivados son recetados por el límite de la zona rectangular de dominio.

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Los hechos y las Motivaciones

1) Este problema se produce en muchas áreas físicas. Uno de los más famosos es el de la vibración de una forma rectangular isotrópico elástico de la placa de la abrazadera.

2) se cree que entre los ingenieros que el problema no tiene una forma cerrada de la solución. Se puede pedir que incluso el problema tiene una solución o no. Evidencia numérica muestra que tal solución existe. Sin embargo, estoy buscando un poco fuerte base teórica para demostrar la existencia de la solución, así que yo tenía pensado hacer esta pregunta en una sociedad de matemáticos.

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Preguntas

1) ¿hay alguna que no sea cero solución para este problema? En otras palabras, estoy pidiendo una existencia o no-existencia teorema para este problema.

Esta pregunta es completamente contestada por TMS. De acuerdo a TKS, se trata de una antigua resultado en primer lugar demostrado por K. Friedrichs. Tal vez la razón por la que muchas personas no son conscientes de esto es que el papel de K. Friedrichs está escrito en alemán titulado como "Morir Randwert - und Eigenwertprobleme aus der Theorie der elastischen Platten. (Anwendung der direkten Methoden der Variationsrechnung)". La traducción en inglés es "El valor de límite y autovalor problemas en la teoría de la goma de placas. (Aplicación directa de los métodos de cálculo variacional)".

Otra respuesta corta a esta pregunta es dada por Jean Duchon en Matemáticas Sobre el Flujo.

2) Suponiendo la existencia, ¿cómo se puede calcular estos valores propios y funciones propias? Hay una forma cerrada solución para este propósito?

Esta pregunta quedó sin respuesta!

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Respuesta Requisitos:

Por favor proporcione una completa respuesta con referencias y pruebas donde corresponda.

Answer 1

Usted encontrará lo que usted está buscando en el Capítulo 3.1 de Gazzola, F., Grunau, H.-Ch., Sweers, G.: Polyharmonic Problemas De Valor De Frontera. Notas De La Conferencia De 1991. Springer, Berlin (2010).

EDITAR:

• Para ser más específicos, se busca Teorema 3.8, en la página 69. La prueba original se remonta a Friedrichs, K. Morir Randwert - und Eigenwertprobleme aus der Theorie der elastischen Platten. (Anwendung der direkten Methoden der Variationsrechnung). De matemáticas. Ann. 98, 205-247 (1927) (p. 233-240). Teorema 3.8 estados precisamente: Vamos a $\Omega=(0,1)\times (0,1)$ denotar la unidad de la plaza. Entonces no existe $\lambda_1>0,u_1\not\equiv 0$ que resolver \begin{equation} \begin{aligned} {}&\Delta^2 u =\lambda\,u {}& \text{ in }\Omega\\ {}&u=|\nabla u|=0 {}& \text{ on } \partial \Omega. \end{aligned} \end{equation} (el problema es que tiene un eigenfunction). Por otra parte, para $\lambda<\lambda_1$ el problema anterior no tiene distinto de cero de la solución de $u$ (es un primer eigenfunction). Finalmente, $u_1(x,y)$ cambia de signo como $(x,y)$ varía en $\Omega$.

• Como para el cálculo de la solución, yo no sería muy optimista: no se conoce la función de Green para la sujetan la placa, excepto en el caso de una pelota o un semi-espacio (véase el Capítulo 2.6, p. 47-49, en el mismo libro como en el anterior). El cálculo de una solución explícita es mucho más fuerte que la búsqueda de una función de Green, que es, una solución en forma cerrada, es decir, debe lograr un resultado mejor que lo que la gente ha estado tratando durante más de 100 años.

• El uso de un resumen resultado (Teorema 7.22 en Folland Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales). El resumen teorema de los estados: Vamos a $\Omega\subset \mathbb R^2$ ser un abierto acotado y conectado de dominio. Deje $X$ ser un subespacio cerrado de $H^m(\Omega)$ contiene $H^m_0(\Omega)$ $D$ ser un auto-adjuntos y coercitivas (existen $C>0$ $\mu\geq0$ tal que $\mathrm{Re}\,D(u,u)\geq C\|u\|_{H^m}^2-\mu\|u\|_{L^2}^2 $) de Dirichlet forma definida en $X$. Entonces existe una base ortonormales $u_j$ $L^2(\Omega)$ compuesto de funciones propias de $D$$X$, es decir, para cada una de las $j$ tenemos $u_j\in X$ y existe una constante real $\lambda_j$ tal que $D(u_j,v)=\lambda_j(u_j,v)_{L^2}$ todos los $v\in X$. Por otra parte $\lambda_j>\mu$ para todos los $j$, $\lim_{j\rightarrow\infty}\lambda_j=+\infty$. En este caso, definir la forma bilineal $D:H_0^2(\Omega)\times H_0^2(\Omega)\rightarrow \mathbb R$,$D(u,v)=\int_\Omega \Delta u\,\Delta v\;dxdy$. Primera nota de la la $L^2$ norma del Laplaciano es un equivalente de la norma en $H_0^2$, lo que hace que $D$ continua: $|D(u,v)|\leq \|\Delta u\|_{L^2} \|\Delta v\|_{L^2}$ (uso de Cauchy-Schwartz desigualdad) y coercitivas: $|D(u,u)|= \|\Delta u\|_{L^2}^2$. Aplicar la que hace referencia el teorema de obtener una secuencia de eigenpairs $\lambda_j,u_j$ satisfactorio $$\int_\Omega \Delta u_j\,\Delta v\;dxdy=\lambda_j\int_\Omega u_j\,v\;dxdy,$$ para todos los $v\in H_0^2(\Omega)$. La regularidad teoría, entonces, le da $u_j\in H^4(\Omega')$ todos los $\Omega'\subset\subset \Omega$ (lejos de la frontera) así, $v\in C_0^\infty(\Omega')$ e integrando por partes (el uso de la llamada segunda Verde de la identidad), se obtiene una $\Delta ^2u_j=\lambda_j u_j$$\Omega'$.

• Usted puede obtener más regularidad mediante la aplicación de un truco para que la plaza se refleja en todos los lados (como el despliegue de una hoja de papel doblado) y el uso de la regularidad de los resultados para el interior de un desplegado de dominio se puede conseguir que la $u_j\in H^4(square)$. Para obtener $C^4$ suavidad entonces usted necesidad de bootstrap: $u_j\in H^4$ implica $\Delta^2u_j\in H^4$ y hacer todo de nuevo consigue $u_j\in H^8$. Iterando el proceso la $u_j\in C^\infty$. Pero esto es sólo para la plaza o para suavizar los dominios!! (al menos con $C^4$ límite).

Answer 2

Respuestas cortas: no, no es separable de la solución; sí, hay funciones propias de la biharmonic.

Por desgracia, la biharmonic no es separable como el Laplaciano. La parte superior de mi cabeza, no sé de una buena forma cerrada de solución para las funciones propias de la biharmonic. La siguiente imagen es una aproximación de la eigenfunction para el menor autovalor. Yo generado usando P3 Hermite elementos finitos (haciendo caso omiso de los datos adicionales de la pendiente). Usted puede ver los datos aquí.

Sí, por supuesto, el biharmonic tiene funciones propias. Un papel por Pereira y Pereira, muestra los resultados generales de dominios en $R^n$$n\geq 2$. Es positiva definida. La única referencia que he encontrado en la de Evans, de la PDE libro fue en un ejercicio; dun no sé qué más pensar.

Answer 3

Considere la posibilidad de $$(\Delta^2-\mu^4)u=(\Delta-\mu^2)(\Delta+\mu^2)u=0$$ junto con $u=0$ $\frac{\partial u}{\partial {n}}=0$ en el borde rectangular $\Gamma$. $\frac{\partial }{\partial {n}}$ denota la normal derivados. Supongamos también se $\mu\ne 0$.

Inspirado por el comentario de TrialAndError, uno puede mirar en lugar de $$\begin{cases} (\Delta+μ^2)v = 0 & v = 0 \text{ on } \Gamma \\ (\Delta-\mu^2)u = v & \frac{\partial u}{\partial {n}}=0 \text{ on } \Gamma \end{casos} $$ Tenga en cuenta que el límite de las condiciones aquí no son una opción única, sin embargo, la siguiente discusión no va a cambiar.

Tenga en cuenta que $$(\Delta+μ^2)v = 0$$ es la ecuación de Helmholtz, que en algunos dominios pueden tener resonancia, es decir, no única solución. Esto sugiere que el problema original no puede tener solución única, lo cual significaría que no es distinto de cero, la solución al problema original. Pero de nuevo, esto depende del dominio.

Por ejemplo, en el caso unidimensional, $u''''=\lambda u$$[0,1]$, junto con $u=0$, $u'=0$ en el límite tiene una solución $$u = (\cosh(k)− \cos(k))(\sin(k x)−\sinh(k x))−(\cosh(kx)− \cos(kx))(\sin(k)−\sinh(k))$$ donde $k^4=\lambda$

Answer 4

El trabajo realizado con anterioridad como a continuación es similar a lo que usted está intentando ( a excepción puede ser el acoplamiento de los diferentes órdenes). Características no son ortogonales eigen-funciones de $F_k(y)$satisfacer las condiciones de contorno de Biharmonic Ecuación, el suministro de ecuación característica produciendo eigen valores de $\rho_k$ desarrollado en $k$ Fadle - Popkovich expansión procedimiento de uso de auxiliares sujeta haz de funciones $Y_m$ correctamente orthogonalize y evaluar todos los coeficientes incluidos Y los coeficientes en $m$ numéricamente.

$$ \Sigma A_k a_{km} = C_m ; \Sigma A_k a_{km} \rho_k = D_m ; $$

La satisfacción de cero deflexión en las esquinas se encuentra precisas para el fin de $1.E-6$. Coeficiente de $ a_{km}$ evaluado es útil para su trabajo también es de esperar. Todos los detalles en el siguiente artículo Elsevier publica investigaciones originales.

Ortotrópico placa de Eigen función de las Expansiones