Deje $G$ ser un grupo finito, vamos a $p$ ser un número primo. Es bien conocido teorema de Sylow de que el número de Sylow $p$-subgrupos de $G$ divide $\vert G \vert$.
Me pregunto si el siguiente mejor es verdadera :
Declaración 1. Deje $G$ ser un grupo finito, vamos a $p$ ser un número primo, vamos a $G_{0}$ $p$- subgrupo de $G$. A continuación, el número de Sylow $p$-subgrupos de $G$ contiene $G_{0}$ divide $\vert G \vert$.
Si no estoy equivocado, el siguiente caso especial es verdadera :
Teorema. Deje $G$ ser un grupo finito, vamos a $p$ ser un número primo, vamos a $G_{0}$ $p$- subgrupo de $G$. Suponga que $G_{0}$ es normal en todos los Sylow $p$-subgrupo de $G$ contiene $G_{0}$. A continuación, el número de Sylow $p$-subgrupos de $G$ contiene $G_{0}$ divide $\vert G \vert$.
Prueba. Deje $P_{1}, \ldots , P_{r}$ ser distinto de Sylow $p$-subgrupos de $G$ contiene $G_{0}$. Tenemos que probar que $r$ divide $\vert G \vert$. Por hipótesis, $P_{1}, \ldots , P_{r}$ normalizar $G_{0}$, lo $G_{0}$ es normal en el subgrupo $P = <P_{1}, \ldots , P_{r}>$ $G$ generado por $P_{1}, \ldots , P_{r}$, lo $G_{0}$ está contenida en cada una de Sylow $p$-subgrupo de $P$. Desde el Sylow $p$-subgrupos de $P$ son claramente Sylow $p$-subgrupos de $G$, hemos demostrado que cada Sylow $p$-subgrupo de $P$ es un Sylow $p$-subgrupo de $G$ contiene $G_{0}$. En otras palabras, cada Sylow $p$-subgrupo de $P$$P_{i}$. Recíprocamente, cada $P_{i}$ es un Sylow $p$-subgrupo de $P$, lo $r$ es el número de Sylow $p$-subgrupos de $P$, por lo tanto (teorema de Sylow) $r$ divide $\vert P \vert $ y por lo tanto se divide $\vert G \vert $.
¿Sabe usted si la hipótesis de normalidad puede ser cancelada en el teorema anterior ? Y tal vez, ¿sabe usted una referencia a la literatura con respecto a este asunto ? Gracias de antemano.
(Por cierto, creo que el siguiente es verdadero : Vamos a $G$ ser un grupo finito, vamos a $p$ ser un número primo, vamos a $G_{0}$ $p$- subgrupo de $G$; a continuación, el número de Sylow $p$-subgrupos de $G$ contiene $G_{0}$$\equiv 1 \pmod{p}$. Así Instrucción 1, si es verdad, puede ser formulado de la manera más precisa : Vamos a $G$ ser un grupo finito, vamos a $p$ ser un número primo, vamos a $G_{0}$ $p$- subgrupo de $G$. A continuación, el número de Sylow $p$-subgrupos de $G$ contiene $G_{0}$ divide $\vert G \vert / p^{n}$ donde $p^{n}$ denota el mayor poder de la $p$ dividiendo $\vert G \vert$.)
