¿Por qué existe el inverso de números surreales?

Question

Problema

Estoy trabajando con el libro "Sobre los números y los juegos" de John Conway, primera edición, a partir de 1976.

En la página 20 escribe

Resumen. Los números de una forma totalmente ordenado Anillo. Tenga en cuenta que en vista del Teorema 8 y la distributiva de la ley, se puede afirmar, por ejemplo, que $x \geq 0$, $y\geq z$ juntos implican $xy\geq xz$, y que si $x\neq 0$, podemos deducir $y=z$$xy=xz$.

Yo no puedo envolver mi cabeza alrededor de la segunda parte, probablemente debido a que me falta algo obvio hecho acerca de los anillos o los campos.

De fondo

Así que vamos a ver lo que las referencias aquí. En la página 29 escribe

Teorema 7. Para todos los $x,y,z$ tenemos las identidades $x0 \equiv 0$, $x1 \equiv x$, $xy\equiv yx$, $(-x)y\equiv x(-y)\equiv -xy$, y la igualdad $(x+y)z=xz+yz$, $(xy)z=x(yz)$.

donde la "identidad" significa que el realmente utilizado, las formas son idénticas y la "igualdad" significa que las clases de equivalencia (relación de $=$) son idénticos. $\equiv$ implica $=$. Además

Teorema 8. (i) Si x e y son números, por lo que es $xy$
(ii) Si $x_1=x_2$, $x_1 y = x_2 y$
(iii) Si $x_1\leq x_2$$y_1 \leq y_2$,$x_1 y_2 + x_2 y_1 \leq x_1 y_1 + x_2 y_2$, la conclusión de serlo si las dos premisas son.

Todos los thats a la izquierda del libro entre estas citas son las pruebas y corrolary Teorema 9 ($x,y$ positivo implica $xy$ positivo). Tenga en cuenta que en la siguiente parte del capítulo, $\frac{1}{x}$ obtiene definido en el formulario de $\{L|R\}$, pero la existencia del inverso multiplicativo se ha establecido anteriormente, y me gustaría saber cómo.

Mi enfoque

Puedo demostrar la unicidad con los teoremas sin problema. Deje $y,z$ dos inversos de las $x$ ( $xy=1$ $xz=1$ ). A continuación, $$y\equiv y1 = y(xz)\equiv (xz)y = (zx)y \equiv z(xy) = z1 \equiv z$$

No puedo ver su existencia. Básicamente, queremos demostrar $x_1 y=x_2 y \Rightarrow x_1=x_2$ (otra dirección de 8(ii)), utilizando sólo los teoremas anteriores y la adición de surrealista números como un grupo abelian. Dudo que las definiciones de los negativos, la suma y la multiplicación en la surrealista números son de importancia aquí, parece ser un puro problema algebraico. Por simplicidad decir $x=x_1, z=x_2$. Seguramente tengo $$0\equiv x 0=x(y-y)\equiv (y-y)x = yx + (-y)x \equiv yx - yx \equiv xy - xy = zy - zy \equiv yz - yz = (y-y)z \equiv z(y-y) = z0\equiv 0$$ pero por supuesto, esto no prueba nada. Multiplicando con $1$ no parece ayudar a cualquiera (porque sin dada la existencia de inversos esto no resuelve nada) y añadiendo parece ser ineficiente, demasiado.

Usted probablemente puede ver de una vez por qué este trabajo o no trabajo, pero si no, puedes probarlo?

Edit: Un colega me dio una pista de que esto es suficiente para demostrar $xy=0 \Rightarrow x=0 \vee y=0$, pero no puedo ver esto. Tal vez fueron la definición de la multiplicación viene?

Answer 1

[Tengo la 2ª edición, no el 1, pero de allí no parece haber diferencias importantes para esta pregunta.]

En primer lugar, una importante corrección. Se escribe "la existencia del inverso multiplicativo se ha establecido", pero Conway no es (todavía) el reclamo de este. Él sólo reclama que la anulación de la ley de $xy = xz \implies y = z$ (al $x \ne 0$) se mantiene.

La anulación de la ley no es cierto en todos los anillos, así que necesitamos algo más para ser capaz de demostrarlo. En este caso, podemos utilizar la desigualdad de las leyes. Tenga en cuenta que tenemos el principio de la tricotomía (exactamente uno de $x < y$, $x = y$, y $x > y$ mantiene). Esto se deduce del Teorema 2 y las definiciones de $=$$<$.

Utilizando el Teorema 8(iii), tenemos, si $0 < x$$y < z$, la conclusión de $xy < xz$. También, si $0 < x$$z < y$,$xz < xy$. La aplicación de tricotomía, esto nos dice que si $0 < x$$y \ne z$,$xy \ne xz$. En una manera similar, podemos demostrar que si $x < 0$$y \ne z$,$xz \ne xz$. De nuevo la aplicación de tricotomía, si $x \ne 0$$y \ne z$,$xy \ne xz$, que es equivalente a la anulación de la ley.

Answer 2

La sugerencia del colega parece suficiente para probar la existencia de anulación de la ley: Teorema 9 estados que $x,y>0 \Rightarrow xy >0$, lo que implica $xy \neq 0$ el (surrealista) definición de $>$.

Desde $-xy\equiv (-x)y\equiv x(-y)$, tenemos por ejemplo,$x > 0, y < 0 \Rightarrow xy \neq 0$, porque el producto sea igual a $0$ lo haría $x(-y) \equiv -xy = -0 = 0$, pero $x,-y > 0$. Por simetría hemos lema: $x,y \neq 0 \Rightarrow xy \neq 0$.

Ahora, dada $xy = zy$ y asumen $y\neq 0$. Set$w\equiv x-z$, $x=z+w$ (inverso aditivo). Por distributiva de la ley y 8 (ii) tenemos $$xy=(z+w)y=zy+wy$$ which can be simplified to $0=wy$. Since $s\neq 0$ we must have $w=0$ by our lemma above, hence $x=z$.