¿Es el % de ecuación de Liouville Moyal $\frac{d\rho}{dt}= \frac{1}{i\hbar} [\rho\stackrel{\star}{,}H]$utilizados en aplicaciones?

Question

Esta respuesta por Qmechanic muestra que la clásica ecuación de Liouville puede ser extendido a la mecánica cuántica por el uso de Moyal de los productos estrella, donde adopta la forma $$ \frac{d\rho}{dt}= \frac{1}{i\manejadores} [\rho\stackrel{\estrella}{,}H]. $$ He visto que esta mencionado como una posible interpretación clásica de la mecánica cuántica, pero nunca he visto esto en la ira, así que quiero preguntar: ¿es esta representación realmente útil en la comprensión de la dinámica? En qué contextos proporciona conocimientos acerca de los procesos físicos que son más difíciles de obtener a través de rutas alternativas?

Realmente no estoy buscando una lista exhaustiva de los lugares donde esta representación aparece, pero me gustaría ver un par de ejemplos representativos para tener una mejor idea de cómo se ve como en las aplicaciones.

Answer 1

"Que se utiliza en la ira" o "asesino ap"? A mi conocimiento, no hay problema ha sido resuelto en el espacio de la fase de cuantización idioma que no era solucionable en las otras dos formulaciones/imágenes (espacio de Hilbert o la ruta de las integrales). Esto está en contraste con, por ejemplo, path integrals (cuyo indicador de fijación, Faddeev-Popov, y Fujikawa anomalía aplicaciones para medir las teorías son prácticamente insustituible; así como el gauge de la teoría de las simulaciones que han revolucionado fuerte acoplamiento QCD).

En este sentido, los mejores días de la formulación aún están por venir, por desgracia....

Pero ya que es el más adecuado para explorar la cuántico-clásica interfaz, dada la idénticos variables que se utiliza para ambos regímenes, única!, estudio de la decoherencia verdaderamente confía en él para la visualización, e incluso los resultados! Un libro clásico: la Decoherencia y la Aparición de un Mundo Clásico en la Teoría Cuántica por Joos, Zeh, Kiefer, Giulini, Kusch, y Stamatescu va a la ciudad en Ch 3.2.3. De manera convincente utiliza la formulación de lejos, mucho más allá de jee-whizzy novedad y "mentiras a los niños", que es a veces el modo en que tales incursiones.

Como corolario, uno la usa de manera creíble, en la computación cuántica, quantum alfombras-no se salte las películas, y es importante destacar que "quantum caos" (si existe o no): voy a dejar de encontrar su menos estresante de referencia.

Tanto para la profundidad de imposibilidad de reemplazo. Cuando se trata saludable intuición, sin embargo, es incomparable.

Nos detallada en nuestro folleto de cómo el SHO rígido de rotación de la ayuda de bypass innumerables confusiones, y, por la inspección automática de manifiesto que los estados de la oscilador de aniquilar a los anticommutator de $\hat x$$\hat p$, en esta formulación sólo $2xp$: he aquí la Fig 6.

Más en serio, personalmente nos prepararon el camino para disipar el mito persistente que Nambu soportes de alguna manera unquantizable... demostró que la naturaleza había ya cuantificada ellos , mientras que el sophisticates no estaban buscando... (es cierto que, posteriormente, se tuvo que transcribir el mensaje para el espacio de Hilbert para convencer a las masas, pero a falta de espacio de la fase herramienta automáticamente en lugar de que el espectador conceptual desventaja...) en Concreto, se indica que faltan cuántica conjugar las variables en dimensiones impares, y la impar-incluso el espacio de fase dicotomía, apenas conocido por los matemáticos, pero no físicos. Pero estoy despotricar...

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Respuesta de comentario a comentario/pregunta : Moyal la mecánica, la ecuación de evolución que escribió (en realidad escritas por Wigner en su 1932 papel), es la ecuación de von Neumann en este idioma, y describe la evolución de la función de Wigner ρ. Es completamente equivalente a los correspondientes *-ecuaciones para el Husimi, Glauber-Sudarshan, etc. representantes, como explicaremos en detalle en los capítulos posteriores de nuestro folleto: cada uno tiene su propio *, ρ y H, sistemáticamente conectados a la "Moyal", (en realidad descubierta por Groenewold ). Tal vez por el "quantum" que significa el uso de un y $a^*$ en lugar de x y p? Todos ellos son c-número de variables, aunque... la Elección de cualquiera de las dos es totalmente una cuestión de conveniencia.

Por ejemplo, como se ejemplifican, el oscilador *-genvalue ecuación es mucho más fácil en el Husimi, y algunas personas, imprudentemente, están impresionados por este debido a que su distribución es positivo semidefinite. (Imprudentemente, porque ignoran la *medida en la computación de la expectativa de valores, ausentes en la Moyal/Wigner lenguaje - que es la razón por la que algunos llaman la Wigner el "sistema de coordenadas Cartesiano" de la formulación. Así Husimi distribuciones son mucho menos intuitiva vis-a-vis el límite clásico, no más, como la gente no puede convolución cantidades en su mente! A continuación, vaya a escribir trabajos mal...). Pero jugando favoritos entre estos es tan irrazonable como jugar los favoritos entre los polares y coordenadas Cartesianas. Normalmente el problema se elige la más práctica.

Answer 2

El Moyal-ecuación de Liouville es ampliamente utilizado en la materia condensada problemas, donde se encuentra en el corazón de la llamada de transporte formalismo, o la teoría cinética. También es ampliamente utilizado en la óptica cuántica. En estos dos enfoques, uno por lo general comienza a partir de la teoría cuántica, y desarrollar un cuasi-clásico aproximación utilizando el Wigner transformar, o relacionados con las transformaciones. Esto es en contraste con el enfoque matemático, que generalmente intenta iniciar a partir de una teoría clásica, y el uso de la Moyal / deformación de cuantización para describir el régimen cuántico sin la necesidad de un espacio de Hilbert.

Voy a elaborar sobre todo lo que más tarde, si encuentro tiempo para hacerlo.

Answer 3

Sólo he visto que se usa a través de la analogía para el espacio de fase, en la forma de Liouville-Van-neumann ecuación. Normalmente se enciende cuando se utiliza la densidad de las matrices. Un ejemplo donde se utiliza en la práctica es el de redfield-wanganess-bloch teoría, para la relajación spin-red.

Yo la he utilizado para los cálculos de cuadrupolo de imágenes de resonancia, permite algunos buenos trucos. Slichters "los principios de la resonancia magnética" es una buena lectura. Creo que hay un capítulo acerca de la densidad espectral donde Liouville van Neumann se utiliza.

Edit: este ejemplo no es una interpretación clásica de la mecánica cuántica, me overread que parte de la pregunta. Afaik la ecuación de liouville requiere incompressibility, que solo es válido para el espacio de fase. Y no sólo se utiliza de forma análoga a la clásica ecuación de Liouville.

Answer 4

El Moyal-ecuación de Liouville puede ser considerado como una aplicación de la Wigner transformación de la ecuación de von Neumann. Esto significa que usted está pensando en el contexto de la densidad de las matrices.

Por supuesto, hay también un enfoque equivalente basado en la partícula de la función de Green. Su Dyson ecuación en el espacio de fase representación lee

$$ ( \epsilon - H(x,p) + i0^+)~\estrellas~G^\mathrm{R}(x,p) = \mathrm{id}, $$

con la $\star$-producto en el 4-vector de la notación definida por

$$ \estrellas \equiv \exp \left\lbrace \frac{i \manejadores}{2} \left( \desbordado{\leftarrow}{\partial}_{x^\mu} \desbordado{\rightarrow}{\partial}_{p_\mu} - \desbordado{\leftarrow}{\partial}_{p_\mu} \desbordado{\rightarrow}{\partial}_{x^\mu} \right) \right\rbrace $$

Digamos que usted está tratando de describir el efecto de un campo magnético homogéneo $B$ que actúa sobre el orbital grado de libertad en un sistema de cristal de electrones. Si usted se acerca a utilizar el estándar de teoría de la perturbación se enfrenta a un problema: el asociado vector potencial de $A$ es espacio dependiente, y de esta forma se rompe la simetría traslacional del cristal. En general, no se puede hacer uso del teorema de Bloch y la situación parece sin esperanza.

La canónica truco sería entonces la de introducir una modulación periódica del campo magnético en una escala de longitud $\lambda$. Realizar sus cálculos y, a continuación, tomar el límite de $\lambda\to\infty$ al final del día. De esta manera es posible mantener su Bloch ondas intacta en todas las etapas de la derivación.

Sin embargo, existe una forma mucho más sencilla basada en la Dyson ecuación anterior. Si se realiza el cambio de $p \to p + e A(x) \equiv \pi$, usted puede hacer un cambio de variables en la Dyson ecuación, la alteración de la definición de la $\star$-producto

$$ \estrellas \rightarrow \exp \left\lbrace \frac{i \manejadores}{2} \left( \desbordado{\leftarrow}{\partial}_{x^\mu} \desbordado{\rightarrow}{\partial}_{\pi_\mu} - \desbordado{\leftarrow}{\partial}_{\pi_\mu} \desbordado{\rightarrow}{\partial}_{x^\mu} - e F^{\mu\nu} \desbordado{\leftarrow}{\partial}_{\pi^\mu} \desbordado{\rightarrow}{\partial}_{\pi^\nu} \right) \right\rbrace . $$

Simplemente mediante la ampliación de la Dyson ecuación en los poderes del campo tensor $F$, ahora tienes una manera de tratar a los campos magnéticos en una forma que es mucho más sencillo, a continuación, basado en el estándar de la mecánica cuántica.

Voy a proporcionar referencias más adelante!

Answer 5

En este enfoque de la dinámica se expresa como una ecuación diferencial en el espacio de la fase de coordenadas. El número de la fase de coordenadas del espacio es fijo e independiente del número de partículas, mientras que el tamaño del espacio de Hilbert (normalmente) aumenta con el número de electores. La siguiente cosa a observar es que, en el límite de algunos de los grandes parámetro, el soporte de Moyal $$ \rho\estrella de H-H\estrellas \rho $$ se derrumba a la costumbre de Poisson soporte, por lo que el quantum de la dinámica en este límite se aproximan por la clásica dinámica, al menos por períodos cortos de tiempo.

Hay un montón de ejemplos de espín en sistemas de acceso abierto el papel y también en el espacio de Fase de la representación de la dinámica cuántica por A. Polkovnikov, Ann.Phys. (Nueva york) vol. 325 (2010) 1790.