Grupo donde cada elemento es de orden 2

Question

Deje $G$ ser un grupo donde cada elemento de identidad es de orden 2.

Si |G| es finito, a continuación, $G$ es isomorfo al producto directo de $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \ldots \times \mathbb{Z}_{2}$.

Es el análogo resultado $G= \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \ldots $.

cierto para el caso de |G| es infinito?

Answer 1

Tal vez la mejor manera de mirar el problema es establecer los siguientes resultados más exactos:

Para un grupo de $G$, los siguientes son equivalentes:
(i) Cada elemento de identidad de $G$ orden $2$.
(ii) $G$ es conmutativa, y no hay una única $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-espacio vectorial estructura en $G$ con el grupo de operación de suma.

Supongo que usted probablemente ya sabe cómo mostrar que si cada nonidentity elemento tiene orden de $2$, $G$ es conmutativa: para todo $x,y \in G$, $e = (xy)^2 = xyxy$. Multiplicando por la izquierda por a $x$ y en el derecho por $y$ da $xy = yx$.

Habiendo establecido la conmutatividad, es conveniente escribir el grupo de la ley de forma aditiva. Entonces no es sólo una de las posibles $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-espacio vectorial estructura en $G$, ya que se sigue para definir un producto escalar y, por supuesto, necesitamos $0 \cdot x = 0, \ 1 \cdot x = x$ todos los $x \in G$. Pero usted debe comprobar que esto funciona en realidad: es decir, define una $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-espacio vectorial estructura, comprobando los axiomas: el punto clave es que para todos los $x \in G$, $(1+1)x = x + x = 0 = 0x$.

Así que ahora la pregunta es equivalente a: es cada $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ espacio vectorial isomorfo a un producto de copias de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$? Así, el único invariante de un espacio vectorial es su dimensión. Está claro que cada finito-dimensional espacio vectorial es de esta forma. Cada espacio de infinitas dimensiones es isomorfo a una suma directa de $\bigoplus_{i \in I} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, la diferencia es que en una suma directa, cada elemento tiene sólo un número finito distinto de cero entradas. (En otras palabras, el margen de combinaciones lineales de base de los elementos son combinaciones lineales finitas.) Además, para cualquier infinito conjunto de índices $I$, la suma directa de $\bigoplus_{i \in I} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ tiene dimensión $I$ y también cardinalidad $I$.

Finalmente, no es posible que un producto directo de dos elementos y conjuntos de tener countably infinito cardinalidad: si $I$ es infinito, es, al menos, contables y, a continuación, el infinito producto directo tiene la misma cardinalidad de los números reales (piensa en binario expansiones). Así que la respuesta a su pregunta es "sí" para dirigir sumas de dinero, pero "no" para productos directos.

Answer 2

Si cada elemento de identidad de $G$ es de orden 2, entonces el grupo abelian. Notationally, ayuda a escribir el grupo de operación aditiva, con identidad $0$. En ese caso, usted puede ver el grupo como un espacio vectorial sobre el campo con dos elementos, $F_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Todo espacio vectorial tiene una base, por lo que $$ G\cong\bigoplus_{i\in I}F_2 $$ donde $I$ tiene la cardinalidad de una base de $G$. El punto aquí es que la representación de un espacio vectorial por una base corresponde a una suma directa de más que el producto directo, ya que sólo puede tomar finito de combinaciones lineales de base de los elementos. (y, como se señaló en Andrés respuesta, no es posible representar todos los grupos tales como productos directos).

Answer 3

De verdad que no. La suma directa de $\bigoplus_{n\in{\mathbb N}}{\mathbb Z}_2$ es un contraejemplo. De manera más general, tome $G=\prod_{n=1}^\infty{\mathbb Z}_2$. Este juego tiene el tamaño de $|{\mathbb R}|$. Es fácil ver que, dado cualquier elemento de este grupo, hay una contables subgrupo de $G$ que contiene este elemento. Mucho más patológicos contraejemplos también son posibles, por supuesto.