¿Es esto una prueba incorrecta del $\cot (x)+\tan(x)=\csc(x)\sec(x)$?

Question

Si la entrada de la identidad trigonométrica: $$\cot (x)+\tan(x)=\csc(x)\sec(x)$$ En WolframAlpha, da la siguiente prueba:

Expanda en trigonométricas básicas partes: $$\frac{\cos(x)}{\sin(x)} + \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \stackrel{?}{=} \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}$$ Poner sobre un denominador común:

$$\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos(x)\sin(x)} \stackrel{?}{=} \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}$$

El uso de la identidad Pitagórica $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$:

$$\frac{1}{\sin(x)\cos(x)} \stackrel{?}{=} \frac{1}{\sin(x)\cos(x)}$$

Y, finalmente, simplificar en

$$1\stackrel{?}{=} 1$$

El lado izquierdo y derecho son idénticos, por lo que la identidad ha sido verificada.

Sin embargo, puedo tomar un poco de problema con esto. Todo esto está haciendo es manipular una declaración de que no sabemos la veracidad de una declaración verdadera. Y he aprendido que cualquier declaración falsa puede demostrar cualquier declaración verdadera, por lo que si esta identidad fue mal podría también reducir a una declaración verdadera.

Obviamente, esta prueba puede ser fácilmente adaptado a una prueba simplemente la manipulación de un lado a otro, pero:

Es esto una prueba de correcto en su propia? Y pueden los pasos WolframAlpha lleva a ser justificado, o es completamente equivocado?

Answer 1

Es bueno que se resisten a probar identidades de esta manera. De hecho, podría "demostrar" $0=1$ diciendo

\begin{align*} 0 &\stackrel{?}{=}1\\ 0\cdot 0 &\stackrel{?}{=} 0 \cdot 1\\ 0 &=0. \end{align*}

El punto importante es que en cada paso WolframAlpha ¿es reversible, mientras que el paso tomé (multiplicando por $0$) no fue. Que es lo que permite la prueba de WolframAlpha para ser reorganizado en una prueba que se inicia con uno de los lados de la identidad y termina en el otro:

\begin{align*} \cot(x)+\tan(x) &= \frac{\cos(x)}{\sin(x)} + \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\\ &= \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} + \frac{\sin^2(x)}{\sin(x)\cos(x)}\\ &= \frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)}\\ &=\frac{1}{\sin(x)\cos(x)}\\ &=\csc(x)\sec(x). \end{align*}

Así que no, el WolframAlpha prueba no está mal, pero se niega a enfatizar la importancia del hecho de que cada paso es reversible. Yo no soy un fan de ese tipo de prueba, como se da a los estudiantes la idea de que puedan demostrar una identidad mediante la manipulación de ambos lados en cualquier manera que deseen llegar a una declaración verdadera.

Answer 2

Usted puede hacer riguroso por ir en sentido inverso. $1=1 \implies \frac{1}{\cos x \sin x}=\frac{1}{\cos x \sin x} \implies \dots$.

Pero esto es un tonto buscando "prueba" y es realmente torpe. El punto es que esto no es $X \implies 1=1$, sino más bien la prueba dado asegura que $X \iff 1=1$ por la igualdad siguiente (que es simétrica) en cualquier dirección para la prueba.

Personalmente lo que sugieres es mucho preferido, $$\frac{1}{\cos x \sin x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos x\sin x}=\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\sin x}{\cos x}=\cot x+\tan x.$ $