¿André LeClair, aproximación de Riemann zeta cero?

Question

Esta secuencia A177885 en la oeis aparentemente se relaciona imaginaria de la no-trivial de Riemann zeta ceros con el LambertW función. Las partes real e imaginaria de la de Riemann zeta función es la suma de las ondas seno y coseno con logaritmos como frecuencias.

Los logaritmos se puede calcular como:

$$\log(n)=\lim_{s\to 1} \, \left(1-\frac{1}{n^{s-1}}\right) \zeta (s)$$

of which the numerators in the Dirichlet series are found in the following infinite table:

$$T = \begin{bmatrix} 0&0&0&0&0&0&0 \\ 1&-1&1&-1&1&-1&1 \\ 1&1&-2&1&1&-2&1 \\ 1&1&1&-3&1&1&1 \\ 1&1&1&1&-4&1&1 \\ 1&1&1&1&1&-5&1 \\ 1&1&1&1&1&1&-6 \end{bmatrix}$$

which has the definition:

$$T(n,k) = -(n-1)\; \text{ if }\; n|k, \;\text{ else } \;1,$$

Repeating/recursing the formula above we write:

$$\log(a(n))= \lim_{s\to 1} \, \zeta (s) \sum _{k=1}^n \frac{T(n,k)}{k^{s-1}}$$

where a(n) appears to be: $$a(n)=\frac{n^n}{n!}$$

$a(n) =$ {1, 2, 9/2, 32/3, 625/24, 324/5, 117649/720, 131072/315, 4782969/4480, 1562500/567, 25937424601/3628800, 35831808/1925,...}

$\left\{1,2,\frac{9}{2},\frac{32}{3},\frac{625}{24},\frac{324}{5},\frac{117649}{720},\frac{131072}{315},\frac{4782969}{4480},\frac{1562500}{567},\frac{25937424601}{3628800},\frac{35831808}{1925}\right\}$

multiplicando con el factorial se encuentra el similar pero alternando la secuencia A177885 en la oeis.

Hay en el comentario de esta fórmula aproximada es:

Table[N[1/2 + 2*Pi*Exp[1]*(n - 11/8)/Exp[1]/LambertW[(n - 11/8)/Exp[1]]*I], {n, 
 1, 12}]
Table[N[ZetaZero[n]], {n, 1, 12}]

lo que da:

{0.5 + 14.5213 I, 0.5 + 20.6557 I, 0.5 + 25.4927 I, 0.5 + 29.7394 I, 
 0.5 + 33.6245 I, 0.5 + 37.2574 I, 0.5 + 40.7006 I, 0.5 + 43.994 I, 
 0.5 + 47.1651 I, 0.5 + 50.2337 I, 0.5 + 53.2144 I, 0.5 + 56.1189 I}

{0.5 + 14.1347 I, 0.5 + 21.022 I, 0.5 + 25.0109 I, 0.5 + 30.4249 I, 
 0.5 + 32.9351 I, 0.5 + 37.5862 I, 0.5 + 40.9187 I, 0.5 + 43.3271 I, 
 0.5 + 48.0052 I, 0.5 + 49.7738 I, 0.5 + 52.9703 I, 0.5 + 56.4462 I}

La Serie de x/LambertW es:

Series[x/LambertW[x], {x, 0, 7}]

$$\frac{x}{W(x)} = 1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{2 x^3}{3}-\frac{9 x^4}{8}+\frac{32 x^5}{15}-\frac{625 x^6}{144}+\frac{324 x^7}{35}+O\left(x^8\right)$$

which has some similarity with $a(n)$

$$\frac{x}{W(x)} = \frac{(-1)^n n^n x^{n+1}}{(n+1)!}$$

$$a(n)=\frac{n^n}{n!}$$

$\left\{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{9}{8},\frac{32}{15},\frac{625}{144},\frac{324}{35},\frac{117649}{5760},\frac{131072}{2835},\frac{4782969}{44800},\frac{1562500}{6237},\frac{25937424601}{43545600},\frac{35831808}{25025}\right\}$

Is there a connection?

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Edit 7.9.2013:

Would these sequences give more accurate power series approximations? Just a thought.

Clear[t, s, nn, m, k, n];
m = 1;
nn = 12;
t[n_, 1] = 1;
t[1, k_] = 1;
t[n_, k_] := t[n, k] = (1 - If[Mod[k, n] == 0, n, 0]);
MatrixForm[Table[Table[t[n, k], {k, 1, m*nn}], {n, 1, m*nn}]];
Print["here"]
Monitor[A = 
  Table[Limit[Zeta[s]*Sum[t[n, k]/k^(s - 1), {k, 1, m*n}], 
    s -> 1], {n, 1, nn}], n]



Clear[t, s, nn, m, k, n];
m = 2;
nn = 12;
t[n_, 1] = 1;
t[1, k_] = 1;
t[n_, k_] := t[n, k] = (1 - If[Mod[k, n] == 0, n, 0]);
MatrixForm[Table[Table[t[n, k], {k, 1, m*nn}], {n, 1, m*nn}]];
Print["here"]
Monitor[A = 
  Table[Limit[Zeta[s]*Sum[t[n, k]/k^(s - 1), {k, 1, m*n}], 
    s -> 1], {n, 1, nn}], n]



Clear[t, s, nn, m, k, n];
m = 3;
nn = 12;
t[n_, 1] = 1;
t[1, k_] = 1;
t[n_, k_] := t[n, k] = (1 - If[Mod[k, n] == 0, n, 0]);
MatrixForm[Table[Table[t[n, k], {k, 1, m*nn}], {n, 1, m*nn}]];
Print["here"]
Monitor[A = 
  Table[Limit[Zeta[s]*Sum[t[n, k]/k^(s - 1), {k, 1, m*n}], 
    s -> 1], {n, 1, nn}], n]



Clear[t, s, nn, m, k, n];
m = 4;
nn = 12;
t[n_, 1] = 1;
t[1, k_] = 1;
t[n_, k_] := t[n, k] = (1 - If[Mod[k, n] == 0, n, 0]);
MatrixForm[Table[Table[t[n, k], {k, 1, m*nn}], {n, 1, m*nn}]];
Print["here"]
Monitor[A = 
  Table[Limit[Zeta[s]*Sum[t[n, k]/k^(s - 1), {k, 1, m*n}], 
    s -> 1], {n, 1, nn}], n]



Clear[t, s, nn, m, k, n];
m = 5;
nn = 12;
t[n_, 1] = 1;
t[1, k_] = 1;
t[n_, k_] := t[n, k] = (1 - If[Mod[k, n] == 0, n, 0]);
MatrixForm[Table[Table[t[n, k], {k, 1, m*nn}], {n, 1, m*nn}]];
Print["here"]
Monitor[A = 
  Table[Limit[Zeta[s]*Sum[t[n, k]/k^(s - 1), {k, 1, m*n}], 
    s -> 1], {n, 1, nn}], n]

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Edit 7.9.2013:

The connection I was looking for:

$$\sum _{n=1}^{\infty} \frac{x (-x)^n \exp \left(\lim_{s\to 1} \, \zeta (s) \sum _{k=1}^n \frac{1-\text{If}[k \bmod n=0,n,0]}{k^{s-1}}\right)}{n+1}+x+1 =1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{2 x^3}{3}-\frac{9 x^4}{8}+\frac{32 x^5}{15}-\frac{625 x^6}{144}+\frac{324 x^7}{35}-\frac{117649 x^8}{5760}+\frac{131072 x^9}{2835}-\frac{4782969 x^{10}}{44800}+\frac{1562500 x^{11}}{6237}-\frac{25937424601 x^{12}}{43545600}+\frac{35831808 x^{13}}{25025}-...$$

1 + x + Sum[
  x*(-x)^n*Exp[
     Limit[Zeta[s]*
       Sum[(1 - If[Mod[k, n] == 0, n, 0])/k^(s - 1), {k, 1, n}], 
      s -> 1]]/(n + 1), {n, 1, 12}]
Series[x/LambertW[x], {x, 0, 12}]

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Edit 2.10.2013: Integration is better:

Clear[x, n, k, s, a1, nn, b1]
b1 = Expand[
   Sum[Exp[Limit[
       1/(s - 1)*
        Sum[(1 - If[Mod[k, n] == 0, n, 0])/(k)^(s - 1), {k, 1, 4*n}], 
       s -> 1]]*(-x)^n, {n, 0, 32}]];
a1 = 1 + Integrate[b1, x];
x = N[(1 - 11/8)/Exp[1], 30];
Print["here"]
N[2*Pi*Exp[1]*a1, 30]
N[2*Pi*Exp[1]*x/LambertW[x], 30]

Clear[x, n, k, s, a1, nn]
a1 = 1 + Integrate[b1, x];
x = N[(2 - 11/8)/Exp[1], 30];
Print["here"]
N[2*Pi*Exp[1]*a1, 30]
N[2*Pi*Exp[1]*x/LambertW[x], 30]

where the number $4$ within: {k, 1, 4*n}], can be varied for truncating the Dirichlet series for the logarithm of $n$. Al menos tan largo como el truncado de la serie de Dirichlet no obtener más de la potencia de serie, hay una tendencia para que los Zeta cero aproximaciones a permanecer cerca de la zeta ceros.

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12.10.2013: Una mejor integración:

Clear[x, n, k, s, a1, nn, b1]
b1 = Expand[
   Sum[Exp[Limit[
       Zeta[s]*Sum[(1 - If[Mod[k, n] == 0, n, 0])/k^(s - 1), {k, 1, 
          n}], s -> 1]]*(-x)^n, {n, 1, 32}]];
a1 = 1 + Integrate[1 + b1, x];
x = N[(1 - 11/8)/Exp[1], 30];
Print["here"]
N[2*Pi*Exp[1]*a1, 30]
N[2*Pi*Exp[1]*x/LambertW[x], 30]

Clear[x, n, k, s, a1, nn]
a1 = 1 + Integrate[1 + b1, x];
x = N[(2 - 11/8)/Exp[1], 30];
Print["here"]
N[2*Pi*Exp[1]*a1, 30]
N[2*Pi*Exp[1]*x/LambertW[x], 30]

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Esta Hoja de cálculo de Excel fórmula utiliza Andre LeClaire la fórmula para aproximar la zeta de Riemann de ceros:

=SI(O(FILA()=1; COLUMNA (A)=1);0; SI(FILA()>=COLUMNA();EXP(-(1-11/8/(COLUMNA (A)-1))/EXP(1)*SUMA(INDIRECTO(DIRECCION(FILA()-COLUMNA()+1; COLUMNA(); 4)&":"&DIRECCIÓN(FILA()-1; COLUMNA(); 4); 4)));0))

(European punto-punto y coma)

es necesario dividir el resultado con: /2/PI()/EXP(1) y tomar el recíproco.

tetration esto es.

Answer 1

Sí por supuesto, la parte lisa de los ceros está dada por

$$N(T)= \frac{T}{2\pi}\log\left(\frac{T}{2\pi e}\right)$$

Esta función puede ser invertida y es igual a $$ T= \frac{2 \pi n}{W(ne^{-1})}

Esta es la razón principal por qué la aproximación funciona bien.

Answer 2

Es interesante leer estos comentarios. El último comentario proporciona una razón por la que funciona bien, pero el argumento es erróneo, ya que N(T) sólo ha sido probada en el conjunto de la crítica de la tira. Por lo tanto, no se puede derivar el Lambert aproximación de los ceros en la línea de la misma, ya que nunca fue probado para que sea válido en la línea. A menos por supuesto que se asume la hipótesis de Riemann es cierto.

Ha habido un seguimiento periódico con mi post-doc Franca que desarrolla estas ideas mucho más allá, y proporciona tanto aproximado y exacto correcciones a esta aproximación basada en la función de Lambert. Resulta que estas correcciones son necesarias para la captura de la GUE estadísticas de Montgomery y Odlyzko del conjeturas. El papel está aquí: http://arxiv.org/abs/1307.8395

Hay otro papel que se extiende a todas estas fórmulas para todos los Dirichlet L-funciones.

-André LeClair