Pregunta sobre la definición de la proyección regular de un nudo

Question

Se puede definir un nudo de dos maneras:

(1) Un nudo es una poligonal cerrada curva en $\mathbb R^3$

(2) Un nudo es una clase de equivalencia de incrustaciones $S^1 \hookrightarrow \mathbb R^3$

Y tal vez también:

(3) Un nudo es una clase de equivalencia de liso $1$-dimensiones submanifolds de $S^3$

Pregunta 1: ¿se Puede reemplazar el $S^3$ (3) por $\mathbb R^3$?

Pregunta 2: me gustaría definir lo que es un regular de la proyección de un nudo. Por desgracia, depende de si puedo usar (1), (2) o (3). Me gustaría usar (2) y tengo la definición (1), que va como sigue:

(Definición) de Un nudo de proyección se llama regular si no hay tres puntos sobre el nodo del proyecto en el mismo punto, y sin vértices proyectos en el mismo punto como cualquier otro punto en el nudo.

Cómo puedo definir regular de proyección sin (1), que es, ¿cómo puedo definir para incrustaciones en lugar de curvas poligonales?

Muchas gracias!

Answer 1

1. Sí, usted puede reemplazar a $\mathbf R^3$ $S^3$ todas partes y esencialmente no hacer una diferencia. Su hipótesis implica que el nudo se pierde un punto en el que usted puede añadir/quitar para ir y venir entre cualquiera de los dos. Este MO pregunta podría ser estimulante: http://mathoverflow.net/questions/63158/

2. Una definición de si la inclusión es suave (o simplemente diferenciable) es que una proyección es regular si el mapa compuesto $\phi \colon S^1 \to \mathbf R^2$ tiene la propiedad de que no hay tres puntos se asignan a un mismo punto, y que si $\phi(p)=\phi(q)$, entonces distinto de cero vectores tangente a $p$ $q$ se asignan a linealmente independiente de vectores tangente en $d\phi$. En otras palabras, la imagen de que el nudo no se cruza a sí misma transversalmente.