Probar que el conjunto de matrices con un bloque de Jordan no es denso en $M_n(\mathbb{C}).$

Question

Me gustaría mostrar que el conjunto de las matrices con un bloque de Jordan no es denso en $M_n(\mathbb{C}),$ el conjunto de todos los $3$ x $3$ matrices con entradas complejas.

He hecho pruebas mostrando que invertible matrices densas, y la diagonal de las matrices densas, pero he estado luchando con las pruebas que demuestran que un subconjunto determinado es no densa. Otra he tenido problemas con la escena era la $SL(2,\mathbb{C})$ no es demasiado densa.

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El único método razonable parece comenzar con la hipótesis de que el subconjunto denso, y llegar a una contradicción. Intuitivamente, uno debe ser capaz de decir que $I$ no es el punto límite de una secuencia de bloques de Jordan, pero he tenido problemas para afirmar esto con rigor. Cualquier consejos/sugerencias/trucos?

Answer 1

Puede resultar bastante elegante con la siguiente observación:

Una función continua que es constante en un conjunto denso es constante en todo el espacio.

Para mostrar SL $(2, \mathbb{C})$ no es densa, ¿qué función podría utilizar para obtener una contradicción? (Sugerencia: utilizan en la definición del grupo linear especial.)

Matrices con un único bloque de Jordania es tal vez un poco más difícil, pero funciona la función $M_3(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}$ teniendo una matriz para el discriminante de su característica polinomial.

Answer 2

Asumir que $A , A_k \in M_n(\mathbb C)$, $A_k \to A$ (es decir, $(A_k)_{ij} \to A_{ij}$ para todos $i, j$) y $A_k$ tiene un % de bloque de Jordan $J_{\lambda_k}$(con valor propio $\lambda_k$) Entonces satisface a $p(\lambda) := \det (A-\lambda I)$

$$p(\lambda)=\lim_{k\to \infty} p_k(\lambda).$$

Pero %#% $ #%

Esto implica que el $$\det (A_k - \lambda I) = \det (J_{\lambda_k} - \lambda I) = (\lambda_k -\lambda)^n$ también tiene $p(\lambda)$-idéntico valor propio. Así algunos elementos en $n$, por ejemplo aquellos con valor propio distinto, no reside en el cierre del sistema de matriz con un bloque de Jordan.

Answer 3

Parece que tiene una versión más fuerte: el conjunto de matrices con un valor propio no es denso en $M_n(\mathbb C)$.

De la prueba.

Demostramos que las matrices en el conjunto de $\{\mathbf A\in\mathbb C^{n\times n}: trace(\mathbf A)=0,\ \det(\mathbf A)\ne 0\}$ no son límites de matrices $\mathbf B_k$ cuyo espectro consiste en un punto $\lambda_k$.

De hecho, si $\|\mathbf A-\mathbf B_k\|\rightarrow 0$, entonces el $n\lambda_k=trace(\mathbf B_k)\rightarrow trace(\mathbf A)=0$, es decir, $\lambda_k\rightarrow 0$. Por otro lado, también deberíamos $\lambda_k^n=\det(\mathbf B_k)\rightarrow \det\mathbf A\ne 0$, una contradicción.

Answer 4

Las respuestas aquí son, por supuesto, correcto. Si usted está tomando la UCLA básica examen, me gustaría abstenerse de afirmar que las raíces de un polinomio son una función continua de sus coeficientes. Este hecho, que probablemente requerirían que usted anote el discriminante, requeriría algún tipo de prueba.

Es posible hacer esto sólo lo que la hipótesis sobre el factor determinante. De nuevo, si usted está tomando el examen básico, se puede utilizar libremente que el mapa de$M_n(\mathbb{C})$$P_{\mathbb{C}}^n[\lambda]$, el conjunto de polinomios de grado en la mayoría de las $n$, dado por $A\mapsto \det(A-\lambda I)$ es continua, ya que los coeficientes son un polinomio en las entradas.

Ahora defina $F:M_n(\mathbb{C})\to P_{\mathbb{C}}^n[\lambda]$ por $$F(A)=\det(\lambda I-A)-(\lambda-\text{tr}(A)/3)^3.$$ If $Un$ has one Jordan block, then $F( Un)=0$. So $$\{A: A\text{ has one Jordan block}\}\subseteq F^{-1}(\{0\})\subsetneq M_n(\mathbb{C}).$$ Since $F^{-1}(\{0\})$ es cerrado, de ser el presagio de un conjunto cerrado en virtud de una función continua, hemos terminado.

Edit: Error tipográfico en la definición de F, eliminado defectuoso sumativa final.