¿Qué morfismos de esquemas cumplen esta propiedad?

Question

Que $f:Y\to X$ $g:Z\to Y$ ser morfismos de esquemas y tomar el producto $Z\times_X Y$ con respecto a la composición $g\circ f:Z\to X$ $f$.

¿Qué propiedad de un morfismo de esquema tiene $f$ para cumplir con tal que el % de proyección $Z\times_X Y\to Z$es un isomorfismo de sistemas?

Creo que '' inmersión abierto '' es una posibilidad. ¿Son allí otros?

Answer 1

Es suficiente para suponer que el $f$ ser un monomorphism : esto es puramente categórico resultado que no tiene nada que ver con los esquemas.
Si ese es el caso, la proyección de $p:Z\times_X Y\to Z$ tiene como inversa de la morfismos $$s=(id_Z,g):Z\to Z\times_X Y$$

Sí, pero ¿cuáles son los monomorphisms en la categoría de esquemas?
Como de costumbre, el Maestro tiene la respuesta( EGA $IV_4$, 17.2.6 ) :

Una de morfismos $f : Y \to X$ localmente finito es un tipo monomorphism si y sólo si para cada $x \in X$, la fibra $f^{-1}(x)$ está vacío o isomorfo a $Spec (\kappa(x))$.

Así que un monomorphism es inyectiva pero el contrario es completamente falso: dado un no trivial de la extensión de los campos de $k\subsetneq K$, la correspondiente (trivialmente bijective!) morfismos de esquemas $Spec(K)\to Spec(k)$ es nunca un monomorphism.

Sin embargo, para terminar con una nota optimista, permítanme señalar que abierta o cerrada de las inmersiones ( que estaban en lo correcto acerca de esos) son monomorphisms.