El grupo de Galois de $x^3-2$ en el campo $\mathbb F_5$

Question

Si el problema es "Encontrar el grupo de Galois de $x^3-2$ en el campo $\mathbb Q$", yo sepa la respuesta con confianza. Pero en este caso estoy un poco incierto sobre mi respuesta como sigue:

Según mi cálculo, también es irreducible a $x^3-2$ $\mathbb F_5$, y así la extensión de Galois es justo $\mathbb F_{5^3}$. Por lo tanto, el grupo de Galois es simplemente $Gal(\mathbb F_{5^3}/\mathbb F_5)\cong\mathbb Z_3$.

¿Mi argumento es correcto?

Answer 1

Se tiene que cualquier polinomio irreducible $f(X)\in\mathbb{F}_q[X]$ grado $n$ tiene el grupo de Galois de $f$ $\mathbb{F}_q$ cíclica de grado $n$, y el grupo de Galois es generado por el Frobenius mapa de $\phi(x)=x^q$. Sucintamente $$\text{Gal}(\mathbb{F}_q(\alpha)/\mathbb{F}_q)=\langle\phi\rangle\cong C_n$$ donde el campo de extensión de la $\mathbb{F}_q(\alpha)/\mathbb{F}_q$ es de grado $n$, e $\mathbb{F}_q(\alpha)$ es la división de campo de $f$$\mathbb{F}_q$; en particular, de cualquier extensión finita finita campos tiene un cíclica grupo de Galois.

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Así, por $f(X)=X^3-2$ $\mathbb{F}_5$ hemos: como $0^3=0$, $(\pm1)^3=\pm1$, $(-2)^3=-8= 2$ a continuación, $-2=3$ es una raíz. Factorizar: $$ X^3-2=(X+2)(X^2-2X+4)=(X+2)(X^2-2X-1)$$ Ahora $-2$ no es una raíz de $g(X)=X^2-2X-1$ $g$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_5$, y sigue la división de campo de $E$ $X^3-2$ $\mathbb{F}_5$ es la división de campo de $X^2-2X-1$ $\mathbb{F}_5$ a que grado $2$ $\mathbb{F}_5(\alpha)$ para algunos raíz de $\alpha$$X^2-2X-1$. El grupo de Galois es isomorfo al grupo cíclico $C_2$, $\text{Gal}(\mathbb{F}_5(\alpha)/\mathbb{F}_5)=\langle\phi\rangle\cong C_2$, donde $\phi\colon x\mapsto x^5$ es el Frobenius mapa que genera el grupo. Las raíces de $X^3-2$ son entonces $-2$, $\alpha$ y $\beta=2-\alpha$ (ya que la suma de las raíces de la $X^2-2X-1$$2$$\alpha+\beta-2=0$, o se podría utilizar la descomposición de la cúbico en su división de campo: \begin{align*} X^3-2&=(X-\alpha)(X-\beta)(X-\gamma)\\ &=X^3-(\alpha+\beta+\gamma)X^2+(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)X-\alpha\beta\gamma \end{align*} donde $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, con $\gamma=-2$, son las tres raíces). El Frobenius mapa de $\phi$ luego de los actos por

$$\phi\colon -2\mapsto -2,\quad\alpha\mapsto\beta\mapsto\alpha$$ Para la numeración de las raíces $1$, $2$, $3$ tenemos $\phi$ como la permutación $(1)(2\,3)$.

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Para ilustrar el caso en que $X^3-2$ es irreducible sobre un campo finito considerar que más de $\mathbb{F}_7$, a continuación, tratando de $0$, $\pm1$, $\pm2$, $\pm3$ como las raíces de muestra $f$ no tiene ninguno en $\mathbb{F}_7$ y por lo tanto es irreducible (aquí se puede ver de inmediato el grupo de Galois $G$ $f$ $\mathbb{F}_7$ $C_3$ y que desde $f$ es irreductible, esto implica $G$ actúa transitivamente sobre las raíces). Por tanto, sus raíces se encuentran en la $\mathbb{F}_{7^3}$. Si $\alpha$ es una raíz de $X^3-2$$\mathbb{F}_{7^3}$, entonces las raíces son generados por la Frobenius mapa, $\phi(x)=x^7$, y se $$\phi^0(\alpha)=\alpha^{7^0},\quad\phi^1(\alpha)=\alpha^{7^1},\quad\phi^2(\alpha)=\alpha^{7^2},\quad\phi^3(\alpha)=\alpha^{7^3}=\alpha$$ El trabajo a estos de manera explícita: $$\alpha,\quad\alpha^{7}=(\alpha^3)^2\alpha=2^2\alpha=4\alpha,\quad\alpha^{49}=(\alpha^3)^{16}\alpha=2^{16}\alpha=65536\alpha=2\alpha$$ a continuación, el Frobenius mapa nos lleva de vuelta a $\alpha$ desde $\alpha^{7^3}=(2\alpha)^7=2^7\cdot4\alpha=512\alpha=\alpha$, y por lo tanto actúa por cíclicamente permuting las raíces: $$\phi\colon \alpha\mapsto4\alpha\mapsto2\alpha\mapsto\alpha$$

(Aquí se nota que $\alpha\in\mathbb{F}_{7^3}$ es un elemento primitivo de lo finito separables y simple extensión de campo $\mathbb{F}_{7^3}/\mathbb{F}_7$, ya que el $\mathbb{F}_{7^3}=\mathbb{F}_7(\alpha)$.) Por lo tanto $\text{Gal}(\mathbb{F}_7(\alpha)/\mathbb{F}_7)=\langle\phi\rangle\cong C_3$. Para la numeración de las raíces $1$, $2$, $3$ tenemos $\phi$ como la permutación $(1\,2\,3)$.