transitividad de condición finitamente generado

Question

Deje $A \subseteq B \subseteq C$ anillos. Sé que si $B$ es un finitely generadas $A$-módulo de e $C$ es un finitely generadas $B$-módulo, a continuación, $C$ es un finitely generadas $A$-módulo. (La prueba está en Atiyah o aquí)

Pero tengo algunas preguntas tontas, que son algunas de las varianzas de las anteriores. Deje $A \subseteq B \subseteq C$ anillos. ¿Qué podemos decir acerca de $C$ ($C$ es un finitely generadas $A$-módulo / $C$ es un finitely generadas $A$-álgebra / otros) en los siguientes casos?

1. $B$ finitely generadas $A$-módulo de e $C$ finitely generadas $B$-álgebra
2. $B$ finitely generadas $A$-álgebra y $C$ finitely generadas $B$-módulo de
3. $B$ finitely generadas $A$-álgebra y $C$ finitely generadas $B$-álgebra

Y en la misma situación, es el siguiente verdad?

una. $C$ es un finitely generadas $A$-módulo implica $B$ es un finitely generadas $A$-módulo de e $C$ es un finitely generadas $B$-módulo?

b. $C$ es un finitely generadas $A$-álgebra implica $B$ es un finitely generadas $A$-álgebra y $C$ es un finitely generadas $B$-álgebra?

Edit: me di cuenta de que $A\subseteq B$ anillos y $B=\sum_{i=1}^n A b_i$ es un finitely generadas $A$-módulo implica $B$ es un finitely generadas $A$-álgebra, ya que $B=\sum_{i=1}^n A b_i=A[b_1,\cdots,b_n]$ mediante la comprobación de la izquierda, a la derecha de las inclusiones. Y también he resuelto (3), ya que si dejamos $B=A[b_1,\cdots,b_n], C=B[c_1,\cdots,c_m]$, $C=(A[b_1,\cdots,b_n])[c_1,\cdots,c_m]=A[b_1,\cdots,b_n,c_1,\cdots,c_m]$ marcando tanto las inclusiones.

A partir de estos dos hechos, en las preguntas (1), (2) se puede deducir que $C$ es de al menos un finitely generadas $A$-álgebra. Mediante el uso de Amitesh la respuesta de (a), en (1), (3) $C$ no se necesita ser un finitely generadas $A$-módulo de otra manera $C$ debe ser un finitely generadas $B$-módulo.

Luego el izquierdo pregunta es que:
En (2), ¿cuál es el ejemplo de $C$ no ser un finitely generadas $A$-módulo?
En (a), decidir si o no $B$ tiene que ser un finitely generadas $A$-módulo(o álgebra).

Answer 1

Voy a decir las respuestas (sin pruebas) a continuación. Por favor trate de probar por tu cuenta (en su mayoría son triviales ejercicios con las definiciones). Si te quedas atascado, por favor siéntase libre de comentar y yo (o alguien) le ayudará.

1. $C$ es un finitely generadas $A$-álgebra
2. $C$ es un finitely generadas $A$-álgebra
3. $C$ es un finitely generadas $A$-álgebra

una. Si $C$ es un finitely generadas $A$-módulo, a continuación, $C$ es un finitely generadas $B$-módulo. Dejo como un (poco difícil) ejercicio para decidir si o no $B$ tiene que ser un finitely generadas $A$-módulo.

b. Si $C$ es un finitely generadas $A$-álgebra, a continuación, $C$ es un finitely generadas $B$-álgebra. Sin embargo, no es necesariamente cierto que $B$ es un finitely generadas $A$-álgebra. Por ejemplo, consideramos la cadena de $k\subseteq k[x_1x_2,x_1x_2^2,x_1x_2^3,\cdots]\subseteq k[x_1,x_2]$.