Duales a través de un mapa bilineal

Question

Deje $E$ $F$ ser normativa espacios vectoriales. Entonces si $B$ es un delimitada forma bilineal en $E \times F$ cada $y \in F$ define claramente delimitado lineal funcional $f_y$ donde $f_y(x)=B(x, y) \forall x \in E$. Cuando el delimitada lineal mapa de $y \mapsto f_y$ $F$ a $E^*$ el doble continua de $E$ pasa a ser un isomorfismo isométrico, decimos que $F$ es el doble de $E$ través $B$. (Todo esto se puede encontrar en Dixmier Álgebras de Von Neumann) ¿por Qué entonces es cierto que

$||x||=sup_{||y|| \leq 1} |B(x, y)| \forall x \in E$? Que los estados, tanto del presente y de su análogo con x, y intercambiarse, y E, F intercambiados. Que versión es prácticamente la definición de lo que significa ser una isometría, pero este de aquí es no.

Answer 1

En general, $E$ un espacio normado con % dual continuo $E^*$, uno tiene todos $x\in E$ que

$$\|x\|=\sup_{\alpha\in E^*,\|\alpha\|=1}|\alpha(x)|$$

un argumento estándar de Hahn-Banach. Puesto que por hipótesis $F\to E^*$ es un isomorfismo isométrico, esto responde a tu pregunta.

Answer 2

La construcción de $f$ que usted informe implica, para cualquier $y\in F$, $$f_y\in E^{\ast},\text{ with }||f_y||_{E^{\ast}}=\sup\{B(x,y):x\in E,\ \||x||_E=1\}$ $ este constituye una de las igualdades establecida en Dixmier.

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La otra hipótesis que $y\in F\to f_y\in E^{\ast}$ es un isomorfismo isométrico, significa que el $$f(F)=E^{\ast}\quad\text{and}\quad||f_y||_{E^{\ast}}=||y||_F,\ \forall y\in F\tag{1}.$ $ un corolario del teorema de Hahn-Banach Estados que % $ $$||x||_E=\sup\{\langle\phi,x\rangle:\phi\in E^{\ast}\, ||\phi||_{E^{\ast}}=1\}, \forall x\in E.\tag{2}$$(1)$y $(2)$ concluimos que, como buscado, $$||x||_E=\sup\{\langle f_y,x\rangle=B(x,y):y\in F,\ ||y||_{F}=||f_y||_{E^{\ast}}=1\}.$ $ se trata de la segunda igualdad en Dixmier.