Los vectores $(a,a,a,0,0,0)$ son todos los múltiplos de $(1,1,1,0,0,0)$; los vectores $(b,b,b,b,b,b)$ son todos los múltiplos de $(1,1,1,1,1,1)$. Los vectores $(0,d,2d,0,0,0)$ son todos los múltiplos de $(0,1,2,0,0,0)$. El lapso de todos estos vectores se dan sólo un 3-dimensional en el subespacio.
Así que la clave está en los vectores $(1,c,c^2,1,c,c^2)$; todos estos vectores span en la mayoría de los $3$-dimensional en el subespacio, ya que todos ellos se encuentran en el subespacio de vectores $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)$ con $x_1=x_4$, $x_2=x_5$, y $x_3=x_6$, $3$- dimensional. Pero incluyen, $(1,1,1,1,1,1)$ (obtenido con $c=1$); por lo que se obtiene en el mejor de 5 dimensiones subespacio de tomar todos estos vectores, junto con el anteriormente considerado uno; usted no puede obtener un todo de $\mathbb{R}^6$.
De hecho, se obtiene exactamente un $5$-dimensiones subespacio: los vectores
$$\begin{align*}
&(1,c,c^2,1,c,c^2)\\
&(1,k,k^2,1,k,k^2)\\
&(1,\ell,\ell^2,1,\ell,\ell^2)
\end{align*}$$
son linealmente independientes si y sólo si los vectores $(1,c,c^2)$, $(1,d,d^2)$, y $(1,\ell,\ell^2)$ son linealmente independientes. Esto ocurre si y sólo si
$$\left|\begin{array}{ccc}
1 & c & c^2\\
1 & d & d^2\\
1 & \ell & \ell^2
\end{array}\right| = (d-c)(\ell-c)(\ell-d)$$
es distinto de cero (esta es una matriz de Vandermonde); para distintos valores de $c$, $d$, y $\ell$ le dan tres vectores linealmente independientes, por lo cual el mismo lapso
$$\mathbf{W} = \bigl\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)\in\mathbb{R}^5\mid x_1=x_4, x_2=x_5, x_3=x_6\bigr\}.$$
Así que sus vectores span exactamente cinco dimensiones subespacio de $\mathbb{R}^6$, y no todos los de $\mathbb{R}^6$
De hecho, $(0,0,1,0,0,0)$ será uno de los vectores que no se encuentran en el intervalo: si se situó en el intervalo, entonces así que $(0,1,0,0,0,0) = (0,1,2,0,0,0)-2(0,0,1,0,0,0)$; de ahí que también se $(1,0,0,0,0,0)=(1,1,1,0,0,0)-(0,1,0,0,0,0)-(0,0,1,0,0,0)$. Puesto que usted puede conseguir cualquier vector de la forma $(x,y,z,x,y,z)$, esto también permite obtener el otro estándar de tres vectores de la base, y que tendría un lapso igual en todo el espacio, que no es el caso.
Así que, no, usted no puede obtener el $(0,0,1,0,0,0)$ con los vectores descritos.
