¿Si un % monic $f\in\overline{K}[x]$tiene un % de la energía $f^n\in K[x]$, donde la característica de no de $K$ ' % de brecha t $n$, entonces debe $f\in K[x]$?

Question

Suponga que tiene un % polinomio monic $f(x) \in \overline{K}[x]$y un entero $n>1$, donde $\mathrm{char}(K)\nmid n$ y $\big (f(x)\big )^n\in K[x]$. ¿Implica $f(x) \in K[x]$?

La pregunta parece muy elemental, y mi intuición inmediatamente dijo: "sí", esto es cierto! Sin embargo, después de varios intentos para proporcionar una prueba elemental, conseguí nada. Terminé en dirección a la teoría de Galois/Kummer, pero nada salió hasta ahora. Me pregunto realmente si una pregunta tan elemental no tiene fácil respuesta (con manera muy fácil demostrarlo).

Answer 1

Deje $R \subseteq S$ ser un anillo de extensión y $n \in R^*$. Entonces, si algunos monic polinomio $f \in S[x]$ satisface $f^n \in R[x]$,$f \in R[x]$.

Prueba: Escribir $f = x^d + a_{d-1} x^{d-1} + \dotsc + a_1 x + a_0$$a_i \in S$. Se demuestra por inducción en $1 \leq i \leq d$ que $a_{d-i} \in R$. Comenzamos por observar que $f^n = x^{nd} + na_{d-1} x^{nd-1}+\text{ lower terms}$. Por lo tanto $na_{d-1} \in R$, es decir,$a_{d-1} \in R$. Supongamos ahora que ya sabemos $a_{d-1},\dotsc,a_{d-i+1} \in R$. El coeficiente de $x^{nd-i}$$f^n$$n a_{d-i} + \text{some polyonomial in } a_{d-1},\dotsc,a_{d-i+1}$: El primer sumando viene desde la elección del monomio $a_{d-i} x^{d-i}$$f$, e $x^d$ el otro $n-1$ copias de $f$. En los otros sumandos tenemos que elegir a mayor monomials. Dado un polinomio en $a_{d-1},\dotsc,a_{d-i+1}$ se encuentra en $R$ por hipótesis de inducción, concluimos $n a_{d-i} \in R$, es decir,$a_{d-i} \in R$. $\square$