Drinfeld centro

Question

Deje $\mathscr{C}$ ser una estricta categoría monoidal. Voy a denotar el producto de $\mathscr{C}$$\otimes$. El centro de Drinfeld $\mathscr{Z(C)}$ $\mathscr{C}$ es la categoría con el objeto $(X,\phi)$ donde $X$ es un objeto de $\mathscr{C}$ $\phi$ es un isomorfismo natural de$X \otimes -$$- \otimes X$. Morhphisms de $(X,\phi)$ $(Y,\psi)$ $\mathscr{Z(C)}$son los elementos de todas las $f \in \mathrm{hom_\mathscr{C}(X,Y)}$ tal que $(\mathrm{id}_W \otimes f) \circ \phi_W = \psi_W \circ (f \otimes \mathrm{id}_W)$ todos los $W \in \mathscr{C}$.

Mi pregunta es la siguiente. Debe haber un problema en el siguiente razonamiento, pero yo no lo encuentro. Me pregunto si alguien puede señalar el error. Arreglar cualquier campo de $k$ de los característicos $0$. Si $G$ es un grupo finito, a continuación, $\mathrm{Vec}_G$ la categoría de $G$-graduada de espacios vectoriales es de estricta monoidal y además es semisimple. Sus objetos simples son unidimensional de espacios vectoriales $V_g$ con la clasificación dada por un elemento $g \in G$. Morfismos son la calificación-la preservación lineal mapas. En particular, $V_g$ $V_h$ son isomorfos si y sólo si $g = h$. La estructura monoidal de $\mathrm{Vec}_G$ se da en simple objeto de la multiplicación de los elementos de la $G$: $V_g \otimes V_h = V_{gh}$. Supongamos ahora que $G$ tiene un trivial centro. Entonces para cualquier $g \in G$ no hay isomorfismo natural de$V_g \otimes -$$- \otimes V_g$, ya que el $V_{gh}$ $V_{hg}$ son no isomorfos para algunos $h \in G$. Por lo tanto, su Drinfeld centro es trivial.

Tenga en cuenta que la conclusión no puede ser cierto, ya que la $\mathscr{Z}(\mathrm{Vec}_G)$ es la representación de la categoría de la Drinfeld doble $k[G] \ltimes \mathrm{Fun}(G)$ $\mathrm{Fun}(G)$ donde $k[G]$ es el anillo de grupo de $G$, $\mathrm{Fun}(G)$ son las $k$funciones con valores en $G$ $\ltimes$ denota el icono del producto con respecto a la acción natural.

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Su observación sólo significa que no hay ningún objeto $(X,\phi)$ en el centro de Drinfeld que tiene $X$ simple y no-isomorfo a $V_e$ ($e$ siendo el elemento de identidad de $G$)

Pero que $C\subseteq G$ ser un GACION clase y deje que $V_C=\bigoplus_{g\in C}V_g$. Entonces usted debe ser capaz de encontrar un isomorfismo natural $\phi_C:V_C\otimes(\mathord-)\to(\mathord-)\otimes V_C$, por lo que $(V_C,\phi_C)$ es un elemento no trivial en $\mathcal{Z}(\mathrm{Vec}_G)$.