¿Cómo mejor aproximada polinomio de mayor grado en el espacio de polinomios de menor grado?

Question

¿Mi pregunta es: encontrar el mejor polinomio aproximan 1-grado de $f(x)=2x^3+x^2+2x-1$ $[-1,1]$ en la norma uniforme (no en el sentido menos cuadrado por favor)?

Orginially, como sugiere el título del post, yo estoy pidiendo el problema general: dado un $n$-ésimo grado polinomio $p(x)$ $[-1,1]$, encontrar la mejor aproximación $q(x)$ en espacio Polinómico de inferior degree($j<n$): $\min_{\operatorname{deg}q(x)=j} \max_{x\in[-1,1]}\| p(x)-q(x)\|$. Ahora me doy cuenta es demasiado difícil. I woud ser contenido si alguien me puede dar respuesta a la pregunta anterior.

Answer 1

Esto se llama el minimax aproximación problema y vamos a utilizar la geometría para ayudarnos a resolver este problema. Definir primero

$$\epsilon(x)=2x^3+x^2+2x-1-(ax+b)$$

Así que mirando esta foto de aquí, la curva azul es la cúbica de la función que estamos tratando de aproximarse. Y la púrpura de la curva es lo que nuestro minimax aproximación debe ser más o menos se parece. Vamos a definir el máximo error absoluto

$$\rho=\max_{-1\leq x \leq1}|\epsilon(x)|$$

también vemos aquí que este max error se logra exactamente en tres puntos

$$\epsilon(-1)=\rho=\epsilon(1) \textrm{ and } \epsilon(x_1)=-\rho$$

donde tengo la grasa de la línea vertical roja en $x=x_1$. Además, $\epsilon(x)$ alcanza su mínimo en$x=x_1$, por lo que tenemos $\epsilon'(x_1)=0$. Así que ahora tenemos que resolver cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas (un sistema no lineal en este caso) y obtener

$$a=4,b=\frac{-35-13\sqrt{13}}{108},x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{6},\rho=\frac{35+13\sqrt{13}}{108}$$

o mejor aún

$$a=4,b=-0.758076,x_1=0.434259, \rho=0.758076$$

así que sabemos lo que el minimax línea es, cuál es el máximo error es y donde se consigue. En caso de obtener dos soluciones al intentar resolver este sistema, a continuación, recuerde elegir la solución donde $\rho$ es positivo.

Ah, y el algoritmo que se está buscando es Remez algoritmo y también puede ser que desee mirar

• un teorema debido a de la Vallée-Poussin (diapositiva 4) para aproximar el minimax error sin tener que calcular la aproximación a sí mismo (que no debe confundirse con el de la Vallée-Poussin del teorema de integrabilidad uniforme)

• Chebyshev del teorema de equioscillation

• y polinomios de Chebyshev de la primera clase, que son útiles para cerca de minimax aproximaciones.

Answer 2

Supongo que se puede utilizar directamente de los mínimos cuadrados aproximación continua de dominio, tales como $$min\,\int_{-1}^{1}\big(f(x)-P^*(x)\big)^2dx$$ donde $$\int_{-1}^{1}\big(2x^3+x^2+2x-1-(ax^2+bx+c)\big)^2dx$$ $$=\frac{848}{105}+\frac{8 a}{15}+\frac{2 a^2}{5}-\frac{64 b}{15}+\frac{2 b^2}{3}+\frac{8 c}{3}+\frac{4 a c}{3}+2 c^2$$ Minimizar w.r.t. $a,b,c$ los rendimientos de los valores siguientes $$a=1\,b=16/5\,c=-1$$ En el siguiente gráfico se pueden ver los resultados. El azul es el original; el rojo de su resultado y verde el resultado de LS aproximación.

Repetir el mismo procedimiento para 1 grado con $P^*(x)=ax+b$ $$\int_{-1}^{1}\big(2x^3+x^2+2x-1-(ax+b)\big)^2dx=\frac{848}{105}-\frac{64 a}{15}+\frac{2 a^2}{3}+\frac{8 b}{3}+2 b^2$$ y el resultado de la función es $P^*(x)=\frac{16}5x-\frac 23$

\begin{aligned}\left(\chi^{(\alpha)}\ast\chi^{(\beta)}\right)(x) &= \sum_{g\in G}\chi^{(\alpha)}\left(xg^{-1}\right)\chi^{(\beta)}(g)\\ &=\sum_{g\in G} \sum_{p=1}^{d_\alpha}\sum_{q=1}^{d_\beta}D^{(\alpha)}_{p,p}\left(xg^{-1}\right)D^{(\beta)}_{q,q}(g)\\ &=\sum_{p,s=1}^{d_\alpha}\sum_{q=1}^{d_\beta}D^{(\alpha)}_{p,s}(x)\sum_{g\in G}\overline{D^{(\alpha)}_{p,s}(g)}D^{(\beta)}_{q,q}(g)\\ &= \sum_{p,s=1}^{d_\alpha}\sum_{q=1}^{d_\beta}D^{(\alpha)}_{p,s}(x)\frac{|G|}{d_\alpha}\delta_{\alpha,\beta}\delta_{p,q}\delta_{q,s}\\ &=\frac{|G|}{d_\alpha}\delta_{\alpha,\beta}\sum_{p,s=1}^{d_\alpha}D^{(\alpha)}_{p,s}(x)\delta_{p,q}\delta_{p,s}^2\\ &= \frac{|G|}{d_\alpha}\delta_{\alpha,\beta}\sum_{p=1}^{d_\alpha}D^{(\alpha)}_{p,p}(x)\\ &= \frac{|G|}{d_\alpha}\delta_{\alpha,\beta}\chi^{(\alpha)}(x)\end-------EDITAR--------------------

Estás buscando minimax polinomios. En este caso queremos minimizar $||f(x)-P^*(x)||_\infty$ por lo tanto $$\text{min}_{a,b}\big(\text{max}_{[-1,1]}|2x^3+x^2+2x-1-(ax+b)|\big)$$ Puesto que la derivada en $[-1,1]$ es positivo máximo error puede se desarrollan en tres posibilidades $$x=-1\Rightarrow\quad -4-(-a+b)=e\qquad (1)$$ $$x=k\Rightarrow\quad 2k^3+k^2+2k-1-ak-b=-e\qquad (2)$$ $$x=1\Rightarrow\quad 4-(a+b)=e\qquad (3)$$ Para encontrar el punto de $x=k$ tenemos para maximizar el error como $$\frac{d}{dx}\big( 2x^3+x^2+2x-1-(ax+b)\big)_{x=k}=0\Rightarrow=a=6k^2+2k+2\qquad (4)$$ Mediante la resolución de ecuaciones $(1)$ $3$ nos encontramos con que $a=4$. Entonces podemos resolver la ecuación $(4)$ dar $$k_1=-0.7676\text{ and }k_2=0.4343$$ Si establecemos $k_1=-0.7676$ $b=0.1099$ que produce el siguiente gráfico

Si establecemos $k_2=0.4343$ $b=-0.7581$ que produce el siguiente gráfico

De estos resultados podemos decir que el mejor uniforme de aproximación puede ser dado por $P^*(x)=4x-0.7581$