Propiedades de matrices de seguimiento $0$: semejanza, invertibility, relación con conmutadores

Question

$1.$ Seguimiento $0$ matrices siempre de la forma $AB-BA$?

$2.$ Es una traza $0$ de la matriz sobre el complejo campo siempre semejante a una matriz con $0$ como un elemento diagonal?

$3.$ Es una traza $0$ matrices sobre cualquier campo siempre semejante a una matriz con $0$ como un elemento diagonal?

$4.$ Es una traza $0$ de la matriz no es invertible si es triangular superior.?

He resuelto un problema en hoffman kunze diciendo : $W$ ser el lapso de $n\times n$ matrices sobre el campo $F$ $W_0$ ser el subespacio generado por las matrices $C$ donde $C=AB-BA$. A continuación, hemos demostrado que hay que $W_0$ es exactamente el subespacio de las matrices que tienen traza $0$, por lo que a partir de este resultado podemos decir $1$ es cierto?

Answer 1

Para (1), véase la cita en mi respuesta a una pregunta anterior. En particular, sí, el conjunto de todos los traceless matrices son precisamente el conjunto de todos los conmutadores, independientemente del campo subyacente.

El ejercicio de Hoffman y Kunze pregunta si el subespacio de todos los traceless matrices es igual a la subespacio se extendió por todos los conmutadores. Esto es diferente de preguntar si el subespacio de todos los traceless matrices es igual al conjunto de todos los conmutadores. Dicho de otra manera, el ejercicio de Hoffman y Kunze evade la pregunta de si todos los conmutadores de formar una matriz de subespacio.

Para (2), ver mi mencionados respuesta de nuevo.

Para (3) y (4), considere la posibilidad de $I_2$$\mathbb{F}_2$.

Answer 2

En realidad, escrito como este, la respuesta a (1) podría ser negativo.

Considere el anillo de polinomios en lo indeterminates $x, y, z$ sobre un campo $F$, $R= F[x,y,z]$ y $M=\begin{pmatrix}x&y\\z&-x\end{pmatrix} \in M_2(R)$.

No hay $A, B\in M_2(R)$ tal que $M=AB-BA$.

Answer 3

1. Si es el % de álgebra de matriz $\mathfrak{sl}_n$sobre un campo entonces sí, porque $\mathfrak{sl}_n$ es un álgebra de Lie simple y $[\mathfrak{sl}_n,\mathfrak{sl}_n]$ es un ideal no trivial de $\mathfrak{sl}_n$ por lo tanto igual a él.

2. No, mira la matriz diagonal $(1, -1)$.

3. Ver 2.

4. Ver 2.