Cómo probar el sistema G es un grupo con la operación *

Question

Sea G un conjunto con la operación $*$. Entonces, supongamos que la asociatividad tiene con respecto a la operación $*$. Suponga que como para cualquier $b\in G$,el mapa de $\phi_{b}:G\to G$ definido por $\phi_{b}(g)=g*b$ es surjective y que hay un $a\in G$, de modo que $\sigma_{a}:G\to G$ es surjective,donde $\sigma_{a}(g)=a*g$. Probar que G es un grupo con la operación $*$.

Estoy atascado en este problema, en primer lugar, tenemos que encontrar la identidad. Sin embargo, no puedo averiguar cómo encontrar la identidad, si podemos encontrar la identidad, a continuación, dar cualquier elemento a de G, podemos utilizar el surjectivity saber que hay una relación inversa entre el elemento $a^{-1}$ tal que $a^{-1}*a$=e. Entonces, se puede probar que G es un grupo. Sin embargo, todavía no tengo idea de cómo encontrar la identidad del conjunto. Alguien puede darme alguna ayuda?

Answer 1

$\phi_{a}$ es surjective, de modo que existe un $g_{1} \in G$ s.t. $g_{1}*a=a$. Por la asociatividad, tenemos que $g_{1}*(a*h)=a*h,\forall h \in G$. Pero $\sigma_{a}$ es surjective, por lo que tenemos $$g_{1}*g=g, \forall g \in G$$ Del mismo modo, si hemos de considerar en primer lugar $\sigma_{a}$$\phi_{a}$, entonces obtenemos que existe un $g_{2} \in G$ s.t. $$g*g_{2}=g, \forall g \in G$$ Ahora, $g_{1}=g_{1}*g_{2}=g_{2}$, podemos indicar tanto el $g_{1,2}$$e$. Por lo $e$ es el elemento de identidad de $G$ .

Para cualquier $b \in G$， por el surjectivity de $\phi_{b}$ existe $b_{1}$ s.t. $b_{1}*b=e$. Por el surjectivity de $\phi_{b_{1}}$ existe $b_{2}$ s.t. $b_{2}*b_{1}=e$. Tenemos $b_{2}=b_{2}*(b_{1}*b)=(b_{2}*b_{1})*b=b$, por lo que cada elemento de a $b \in G$ tiene una inversa $b_{1}$.