Una álgebra boleana gratis

Question

Considere la siguiente definición:

El álgebra booleana $A$ es generado libremente con el subconjunto $G \subseteq A$ si para cada álgebra de boole $B$ y un mapa de la $f:G \mapsto B$ no es precisamente un homomorphism $\overline{f}:A \mapsto B$ extender $f.$ $\overline{f}(x) = f(x)$ todos los $x \in G.$

Me gustaría comprobar si $A = P(\mathbb{N})$ es generado libremente por algún subconjunto $G.$

Claramente si $G$ genera $A$ $G$ no es el conjunto vacío y no contiene 0 o 1. Definir un mapeo $f$ tal que fija $x \in G$ se asigna a un átomo de si $x$ no es un átomo, y no el átomo de elemento de otra manera.

Desde cualquier automorphism conserva los átomos no hay manera de extedn $f$ a un homomorphism de$A$$A$.

El anterior razonamiento (si es correcto) sería, por tanto, implica que el $A$ no se genera libremente.

¿Estoy equivocada?

Answer 1

De hecho, $P(\mathbb{N})$ no es libre. Todos infinito libremente generan álgebras Booleanas son atomless, mientras que $A$ es atómica. Además, sólo las álgebras Booleanas, que son generados por un conjunto finito $G$ son finitos (con $2^{2^{|G|}}$ muchos elementos -si no me equivoco).

A ver que si $G$ es infinito, $A$ es, es trivial. A ver que si $G$ es finito, a continuación, $A$ es finito sólo tiene que comprobar que el $A$ es el álgebra de Lindenbaum de la lógica proposicional con $|G|$ muchos átomos (verificar que esta álgebra satisface los requisitos).

A ver que si $G$ es infinito, $A$ es atomless que hacer lo siguiente: Tomar un atomless álgebra Booleana $B$ $|G|$ muchos elementos y definir un mapeo $f:G\to B$ tal que $f[G]$ es densa, es decir, por cada elemento de a $b\in B$ hay algún elemento en $c\in f[G]$ tal que $c\leq b$. Luego tomar la homomorphism $\bar{f}$ que se extiende $f$. Si $A$ tiene un átomo de $a$, tome $f(a)$, ya que el $B$ es atomless, hay algunos $d<f(a)$ y hay algunos $c\in G$ tal que $f(c)\leq d$. A continuación, $0<f(a)\land f(c)<f(a)$ mientras $f(a\land c)$ es $0$ o $f(a)$.

En realidad se puede describir completamente lo que el libremente generado el álgebra Booleana se parece, aunque es un poco molesto. Usted puede encontrar esto es, por ejemplo, en Jonhstone la "Piedra de los Espacios" (al final del primer capítulo). La idea básica detrás de la construcción radica en el hecho de que todas las proposiciones pueden ser escritos en forma normal disyuntiva.

P. S.: no creo que su argumento es correcto, porque no se parecen utilizar el infinito de $\omega$, y como he argumentado hay atómica libremente generan álgebras Booleanas.

EDIT: El problema con su argumento es que se asume que el $\bar{f}$ será un automorphism pero este puede no ser el caso. Todo lo que se requiere es que el $\bar{f}$ es un homomorphism, que no tiene necesidad de preservar los átomos.