Función que maximiza una función de

Question

Supongamos que tenemos un real, continuo, función positiva f(x) para que nos definir la cantidad:

$$\pi(f,a) = \frac{\int_0^a f(x) dx}{\int_0^a \sqrt{1+\left(\frac{df(x)}{dx} \right)^2 }dx}$$

queremos encontrar la función fque maximiza $\pi$ para un determinado $a$.

En general, ¿cómo podemos atacar los problemas de este tipo: encontrar $f$ tal que $\mathrm{F}(f)$ es el máximo? Hay que limita la garantía de que existe una solución analítica? ¿Cómo podría el problema anterior puede modificarse para tener una solución?

Answer 1

Se cálculo el cociente del área bajo la gráfica de $f(x)$ a la longitud de arco, de $x=0$ $x=a$. La longitud del arco es invariante bajo cambios de arriba, pero no es el área bajo el gráfico. Para cualquier $g(x)$ y cualquier $r\gt 0$, la diferencia entre $\pi(g+r,a)$y $\pi(g,a)$ es proporcional al $r$, y por lo que tiene que #% el %#% es ilimitada. No hay ningún máximo para cualquier clase de funciones que es cerrado bajo adición constantes.

Answer 2

Parece que se quiere maximizar la integral de $f$ con respecto a su arclength. (parece haber un error en la parte inferior, pero puedo equivocarme) Sin embargo, esta cantidad es ilimitada.

Considerar la función constante $f(x)=c$ y que $a>0$. Entonces $$\pi(f,a)=\frac{\int_0^a cdx}{\int_0^a\sqrt{1+0^2}dx}=\frac{ac}{a}=c$ $

$c$ A ser tan grande como queramos que vemos que no existe máximo y $\pi(f,a)$ es ilimitada.

Espero que ayude

Answer 3

Añadir la condición $f(0)=f(a)=0$. El gráfico del % óptima $f$tiene que ser un arco circular de un cierto ángulo $2\alpha$, $\ 0\leq\alpha\leq{\pi\over2}$, de otra manera uno podría aumentar el % de área $A$sin cambiar la longitud de $L$. Expresando $A$ $L$ utilizando la variable $\alpha$ conseguimos $${A\over L}={a\over 4} ({1\over\sin\alpha}-{\cos\alpha\over\alpha}),$ $ y esto asume su valor máximo ${a\over 4}$ $\alpha={\pi\over2}$, para que otra vez llegamos a un semicírculo.

Answer 4

No sé mucho sobre esto, pero parece que el campo es el cálculo de variaciones. Un % fijo $a$, $\pi(f,a)$ es un funcional de f. La continuidad de la funcional dependerá de qué espacio de funciones están optimizando más. Un tiempo atrás leí algunos capítulos del cálculo de variaciones por Gelfand y me pareció bastante accesible.

Answer 5

$π(f,a)$ A ser máximo el término $df(x)/dx = 0$

i.e.$ f(x) = c$

es decir, $\int_0^a \sqrt{1 + (\frac{df(x)}{dx})^2} dx = \int_0^a dx$

es decir, $π(f,a)= ca/a = c$