Yo amor, más bien, la pregunta que se enlaza en relación con el comportamiento de los triángulos en la geometría no Euclidiana. Esto puede no ser exactamente lo que usted está buscando, pero creo que realmente constituye la base de por qué el teorema de Pitágoras es especial. La otra respuesta da un fresco algebraicas respuesta, en cierto sentido, así que aquí es una forma geométrica.
La idea básica es esta:
El espacio euclidiano es el "punto dulce" donde "líneas rectas" (geodesics) satisfacen el teorema de Pitágoras.
Esto es debido a que es el "punto de transición" entre positiva y negativamente a la curvatura del espacio (es decir, donde no hay curvatura).
Supongamos que tenemos un punto de $x$ y el inicio de dos geodesics movimiento en la constante de velocidad de unidad de cada uno de los otros con ángulo de $\theta$.
Si usted mira en Villani, de transporte Óptimas, viejos y nuevos, eq 14.1 (ver también esta pregunta), para 2-variedades, podemos obtener la distancia $d(t)$ entre los dos puntos en movimiento en el momento $t$ ser:
$$
d(t) = t\sqrt{2(1-\cos(\theta))}
\left[ 1 - \frac{\kappa(x)\,\cos^2(\theta/2)}{6}t^2 + O(t^4) \right]
$$
donde $\kappa(x)$ es la curvatura de Gauss en $x$.
Vamos a construir un triángulo rectángulo, con dos lados de igual longitud, $t$ y la medida de la hipotenusa como la distancia entre ellos. Suponga $t<<1$. Tome $\theta=\pi/2$. Entonces:
$$
d(t) = t\sqrt{2}\left[ 1 - \frac{\kappa(x)\,t^2}{8} \right]
$$
es la hipotenusa de longitud (es decir,$c=d(t)$).
Recordemos que los otros dos lados de nuestro triángulo son de longitud $a=b=t$.
Observe que si $\kappa=0$, obtenemos:
$$
a^2+ b^2 = t^2+t^2 = 2t^2=d(t)^2 = c^2
$$
así que en un uncurved colector, teorema de Pitágoras es correcto!
Tenga en cuenta que todo depende de la curvatura del espacio. Si $\kappa(x)<0$,$a^2+b^2 < c^2$; si $\kappa(x)>0$,$a^2+b^2 > c^2$. De hecho, el grado de Pitágoras es preciso disminuye a medida que el espacio se vuelve más curvo.
Por lo tanto, mi respuesta a ¿qué es la verdad fundamental de que el Teorema de Pitágoras, en la moderna términos matemáticos, es que yo consideraría el teorema de Pitágoras a ser el caso especial resultado de distancias geodésicas en uncurved espacio.
Esto es algo más general, para colectores de Riemann: negativo Ricci escalar de curvatura causas geodesics a divergir, mientras que los positivos hace todo lo contrario. Por lo tanto, si queremos construir "triángulos" por el tratamiento de "líneas rectas" a ser geodesics y medir la distancia entre ellos a medida que crecen, en el primer caso, la distancia se "rebasamiento" el teorema de Pitágoras; en el último caso, se va a llegar. (Hay un poco fría gráfico de que en aquí, aunque en un sentido probabilístico). Sólo en el plano Euclídeo caso (al menos localmente), van a ser exactamente igual todo el tiempo.
Tal vez algunas personas también nota de que, en geodésica normal coordenadas, la métrica es localmente euclídeo (es decir,$g_{ij} \approx \delta_{ij}$, por lo que el teorema de Pitágoras se mantenga infinitesimalmente (desde la plaza de la distancia geodésica será
$s^2=g_{ij}x^ix^j \approx \delta_{ij}x^ix^j=(x^1)^2 + (x^2)^2$ 2D).
