¿Lo que se adquiere por la internalización LST (la lengua de teoría de conjuntos)?

Question

Estoy leyendo en los Gödels edificable universo L en el libro "Constructibility" por Devlin, y mediante la comparación de su texto con textos como Kunen y Jech, hay una cosa en particular que se está haciendo de manera diferente: la internalización de la LST (es decir, el lenguaje $\{\in\}$) dentro de la teoría de conjuntos en sí.

Para dar una breve descripción de lo que hace, su construcción es de aproximadamente interpretar cada símbolo lógico (conectivas, variables, entre paréntesis) como números naturales dentro de la teoría de conjuntos en sí, y fórmulas como secuencias de números naturales, de nuevo dentro de la teoría de conjuntos. Se procede a demostrar que en conjuntos transitivos, esta interpretación coincide con la meta-matemática a través de LST (por $\Delta_0$ fórmulas; es decir, fórmulas donde cada cuantificador es limitado). Pasa un montón de tiempo en esto, y me parece no puede ver lo que las ganancias de este tipo de construcción.

Mi pregunta es entonces, ¿qué tal un interiorizado la construcción alcanza? Es así que los teoremas acerca de las fórmulas de ZFC puede "hacer más sentido" - que no hay necesidad de meta-teoremas matemáticos que se necesita? La mera conveniencia? Cuestiones filosóficas? No tiene que ser específicamente acerca de Devlin de la construcción, sino más bien por una arbitraria de la internalización de la teoría de conjuntos.

Pido disculpas si esta pregunta es demasiado vaga, pero traté de hacer lo más específico posible.

Answer 1

Hay varios motivos por los que desea código LST (o los idiomas en general) dentro de la teoría de conjuntos (o lo que sea fuerte formales de la teoría de que estamos trabajando).

Usted necesita hacer esto para probar los teoremas de incompletitud, y cualquier consistencia relativa de resultado; de hecho, es necesario incluso formular estos resultados. Después de todo, para expresar $\mathrm{Con}(T)$ necesitamos una contraparte formal para $T$, y un interno de la formalización de primer orden provability.

También es menos difícil describir la edificable jerarquía de si podemos hablar directamente acerca de las fórmulas y la satisfacción en vez de Gödel de las operaciones.

En realidad, la capacidad para discutir satisfiability se vuelve más crucial como veremos más argumentos técnicos. Un común combinatoria técnica en el conjunto de la teoría consiste en comenzar con un segmento inicial del universo que satisface a un gran fragmento de la teoría de conjuntos, y luego considerar contables primaria de la subestructura. El hecho de que la estructura contable de la primaria y se utiliza de forma explícita para derivar combinatoria información acerca de la instrucción en la mano, y luego de la transferencia de esta información a el universo mismo. Naturalmente, en casos específicos, no necesitamos satisfiability en general, y en su lugar puede argumentar de forma explícita en términos de lo que las funciones que necesitan nuestras estructuras para ser cerrado bajo. Pero esto es complicado en muchos casos, y distrae de la combinatoria núcleo estamos realmente después.

Como para el edificable de la jerarquía, no es sólo $L$, pero muchas otras estructuras que se definen explícitamente en términos de definability y la información acerca de Skolem cascos. Además, la formalización explícita de la satisfiability relación puede arrojar algo de luz sobre las dificultades técnicas que impiden la realización de Lowenheim-Skolem argumentos con la debida clases en general (algo que puede ser formalizado a través de Tarksi del teorema de undefinability de la verdad, por ejemplo).

Answer 2

El punto principal es la necesidad de cuantificar través de fórmulas.

I. e., tenemos que decir "no existe una fórmula tal que ...". O "Para cada fórmula se sostiene que ..."

El problema es que en la teoría de conjuntos podemos cuantificar únicamente sobre los CONJUNTOS. Así, nos engañan, por así decirlo. Nos encontramos con una colección de conjuntos que se comportan como la fórmula.

Ahora podemos cuantificar a través de estos conjuntos.

En orden para que esto sea útil debe haber una conexión entre la fórmula real y los conjuntos de codificación de esta fórmula.

Teoremas como I. 9.11 y I. 9.15 en Devling del libro son ejemplos de este tipo de conexión.