Funciones

Question

Que $f(x)$ ser una función continua para todos los $x\in \mathbb R$, que $f\in L^{2}(\mathbb R)$ (es decir, $\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^{2}dx<\infty$) y definir $$f_{o}(x):=\sup_{|x-y|\leq 1}|f(y)|$ $

¿Cómo probar que el $f_{o}\in L^{2}(\mathbb R)$, % y $\|f_{o}\|_{L^{2}}\leq A\|f\|_{L^{2}}$, $A>0$ constante?

• Mi progreso es el siguiente, así que me corrijan si estoy equivocado y me aconsejan si me falta algo:

Nosotros podemos construir una función $g\in S(\mathbb R)$ (clase de Schwartz) con $\hat{g}=1$, que $\hat{f}=\hat{f}\hat{g}$, por lo tanto, $f=f*g$ (convolución), entonces

%#% $ #% lo que implica que el $$f_{o}(x)\leq (|f|*g_{o})(x)$.

Answer 1

El resultado es falso considerar una función que es continua y en $L^2$ $F(p)=1 ,\forall p\in \mathbb{Z}$, (si usted quiere construir triángulos). Este tipo de operador de la maximal no es l ^ 2, porque $f_0\geq 1$.

Para una función considere $g(x)=\sqrt{ \max(1-|x|,0)}$ entonces definir $h_n(x)=g(n^2 x)$.

Entonces considere $f(x)=\sum_{1}^{\infty} h_n(x)$.

Creo que una buena pregunta es si $f_0$ L ^ 2 entonces f = 0.

Answer 2

Creo que esta afirmación no es verdadera. Considere la posibilidad de secuencias $$ a_n=n\qquad b_n=\frac{a_n+a_{n+1}}{2} $$ y definir las funciones de $$ f_n(x)= \begin{cases} 0 & x<b_{n-1}\\ \left(\frac{x-b_{n-1}}{a_n-b_{n-1}}\right)^{n^2+1} & b_{n-1}\leq x<a_n\\ \left(1-\frac{x-a_{n}}{b_n-a_n}\right)^{n^2+1} & a_n\leq x<b_n\\ 0 & x \geq b_n \end{casos} $$ Ahora vamos a definir la función $f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty f_n(x)$. Su gráfica constan de manera uniforme perturbado picos centrados en entero puntos. Los picos de ser más fuerte como $n$ tiende a infinito.

Elegimos picos afilados suficiente en orden a $f\in L^2(\mathbb{R})$. Uno puede mostrar que $f$ es continua y $$ \Vert f\Vert_{L^2}=\left(\sum\limits_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{1+2n^2}\right)^{1/2}<+\infty $$ Ya que para todas las $x\in\mathbb{R}$ tenemos $0\leq f(x)\leq 1$, y para todos los $n\in\mathbb{Z}$ tenemos $f(n)=1$, entonces para todos los $x\in\mathbb{R}$ $$ f_o(x)=1 $$ Obviamente, $f_o\notin L^2(\mathbb{R})$.