No es uniformemente continua mostrando una función

Question

Estoy buscando en uniforme de continuidad (para mi examen) en el momento y yo estoy bien con el que muestra que una función es uniformemente continua, pero estoy teniendo un poco más de dificultad para mostrar que no es uniformemente continua, por ejemplo:

mostrar que $x^4$ no es uniformemente continua en a $\mathbb{R}$, así que mi solución sería algo como:

Asumir que es uniformemente continua, entonces:

$$\forall\epsilon\geq0\exists\delta>0:\forall{x,y}\in\mathbb{R}\ \mbox{if}\ |x-y|&lt\delta \mbox{then} |x^4-y^4|&lt\epsilon$$

Tome $x=\frac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta}$ $y=\frac{1}{\delta}$ entonces tenemos que $|x-y|=|\frac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta}-\frac{1}{\delta}|=|\frac{\delta}{2}|&lt\delta$ sin embargo $$|f(x)-f(y)|=|\frac{\delta^3}{8}+3\frac{\delta}{4}+\frac{3}{2\delta}|$$

Ahora si $\delta\leq 1$ $|f(x)-f(y)|>\frac{3}{4}$ e si $\delta\geq 1$$|f(x)-f(y)|>\frac{3}{4}$, por lo que no existe no $\delta$ $\epsilon &lt \frac{3}{4}$ y tenemos una contradicción.

Así que me preguntaba si esto estaba bien (me parece bien) pero también si esta era la forma general para ir de mostrar que alguna función no es uniformemente continua? O si hay alguna otra manera de hacerlo que no son de la definición?

Muchas gracias por cualquier ayuda

Answer 1

Para mostrar que no es uniformemente continua en toda la línea, hay dos habituales (y similares) maneras de hacerlo:

1. Demostrar que para cada $\delta > 0$ existe $x$ $y$ tal que $|x-y|&lt\delta$ $|f(x)-f(y)|$ es mayor que cierta constante positiva (normalmente es arbitrariamente grande).
2. Revisión de la $\varepsilon$ y muestran que, para $|f(x)-f(y)|&lt\varepsilon$ necesitamos $\delta = 0$.

Primera forma:

Fix$\delta > 0$, $y = x+\delta$ y verificación $$\lim_{x\to\infty}|x^4 - (x+\delta)^4| = \lim_{x\to\infty} 4x^3\delta + o(x^3) = +\infty.$$

Segunda forma:

Fix $\epsilon > 0$, lo que $$|x^4-y^4| &lt \epsilon $$ $$|(x-y)(x+y)(x^2+y^2)| &lt \epsilon $$ $$|x-y|\cdot|x+y|\cdot|x^2+y^2| &lt \epsilon $$ $$|x-y| &lt \frac{\epsilon}{|x+y|\cdot|x^2+y^2|} $$

pero esto describe una condición necesaria, por lo $\delta$ tiene que ser al menos tan pequeño como el lado derecho, es decir

$$|x-y| &lt \delta \leq \frac{\epsilon}{|x+y|\cdot|x^2+y^2|} $$

por lo tanto, si $x$ o $y$ tiende a infinito, a continuación, $\delta$ tiende a $0$.

Espero que esto te ayuda ;-)

Edit: después de la explicación y cálculo de errores, no estoy en desacuerdo con su prueba.

Answer 2

Voy a comentar sobre su solución después de escribir otro enfoque. Para cualquier $x,y\in\mathbb{R}$ tenemos: \begin{align*} |x^{4}-y^{4}|=|(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2})|=|(x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2})|=|x-y|\cdot |x+y|\cdot |x^{2}+y^{2}| \end{align*}

Así que lo que pueden ver es que incluso si usted toma arbitrariamente cerca de $x$$y$, puede crecer la distancia de $x^{4}$ $y^{4}$ tanto como se desee tomando de ellos lo suficientemente lejos de cero. Usted puede fácilmente concluir de aquí que la función no es uniformemente continua por una contraposición, por ejemplo.

Muy bien, entonces para su solución. Si los cálculos sería correcto, entonces estaría bien. Se podría asumir que tales $\delta>0$ existe $0&lt\varepsilon&lt3$ y concluir con una contradicción. Sin embargo, tengo un poco diferentes cálculos que usted. Utilizando la ecuación anterior vemos que: \begin{align*} |f(\frac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta})-f(\frac{1}{\delta})|&=|(\frac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta})^{4}-\frac{1}{\delta^{4}}|=|\frac{\delta}{2}(\frac{\delta}{2}+\frac{2}{\delta})((\frac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta})^{2}+\frac{1}{\delta^{2}})| \\ &= |(\frac{\delta^{2}}{4}+1)(\frac{\delta^{2}}{4}+2\cdot \frac{\delta}{2}\cdot \frac{1}{\delta}+\frac{1}{\delta^{2}}+\frac{1}{\delta^{2}})| \\ &=|(\frac{\delta^{2}}{4}+1)(\frac{\delta^{2}}{4}+1+\frac{2}{\delta^{2}})| \\ &= |\frac{\delta^{4}}{16}+\frac{\delta^{2}}{4}+\frac{1}{2}+\frac{\delta^{2}}{4}+1+\frac{2}{\delta^{2}}| \\ &= |\frac{\delta^{4}}{16}+\frac{\delta^{2}}{2}+\frac{2}{\delta^{2}}+\frac{3}{2}|\\ &= \frac{\delta^{4}}{16}+\frac{\delta^{2}}{2}+\frac{2}{\delta^{2}}+\frac{3}{2} \end{align*} Si eres capaz de encontrar un límite inferior de este (que es bastante fácil), como se hizo anteriormente, a continuación, mediante la elección de un epsilon menor que el número fijo que se puede concluir como lo hizo en su post original por la contradicción.

Answer 3

Creo que usted debe hacer esto un poco más sencillo (y para la continuidad uniforme en general) Todo lo que necesita hacer para mostrar $f:X \to Y$ no es uniformemente continua en a $X$ (supongamos que hay dos subgrupos de $\Bbb R$), a continuación, me acaba de dar un SOLO epsilon tal que, NO IMPORTA CUÁN PEQUEÑO delta es elegido, habrá de x y de y cerca de delta para el cual la diferencia en los valores de la función exceder de epsilon. Así, por ejemplo, $|(N+\theta)^4- N^4| \ge 4\theta N^3$ así que si usted elige $x$ realmente grande (con respecto a $\delta, x=N+\theta\,\,\,\ \text{and}\,\,\, y = N,$ si $0 < \delta/2 < \theta < \delta$ $|x-y| < \delta$ sin embargo, usted todavía tiene la variable N para jugar a hacer la diferencia en los valores de la función tan grande como te gusta (en particular, la diferencia en los valores de la función puede ser realizada siempre mayor que 3, independientemente de cuán pequeño $\delta$ es). Sin embargo, creo que su prueba es un trabajo de precisión!