Con el axioma de elección podemos demostrar un resultado mucho más general:
Teorema. Si $X$ es un grupo (o campo) infinito, entonces hay biyecciones $f,g:X\to X$ tal que $f(x)g(x)=x$ para todos $x\in X$ .
Prueba. Bastará con probarlo para un grupo; si $X$ es un campo infinito, podemos aplicar el teorema al grupo multiplicativo $X\setminus\{0\}$ y luego extender las biyecciones a $X$ al establecer $f(0)=g(0)=0$ . Además, bastará con construir tres biyecciones $f,g,h:X\to X$ tal que $f(x)g(x)=h(x)$ para todos $x\in X$ Entonces $f\circ h^{-1}$ y $g\circ h^{-1}$ serán biyecciones cuyo producto es el mapa de identidad.
Dejemos que $X$ sea un grupo infinito, $|X|=\kappa$ y elija una ordenación adecuada $\prec$ de $X$ tal que $|\{y\in X:y\prec x\}|\lt\kappa$ para cada $x\in X$ . Partición $X$ en conjuntos disjuntos $A,B,C$ con $|A|=|B|=|C|=\kappa$ . Definimos $f,g,h:X\to X$ por inducción transfinita. Consideremos $x\in X$ y supongamos que $f(y),g(y),h(y)$ se han definido para todos los $y\prec x$ definimos $f(x),g(x),h(x)$ de la siguiente manera.
Si $x\in A$ , dejemos que $f(x)$ sea el menor elemento de $X\setminus\{f(y):y\prec x\}$ y luego elegir $g(x)\in X\setminus\bigcup_{y\prec x}\{g(y),\ f^{-1}(x)h(y)\}$ y que $h(x)=f(x)g(x)$ .
Si $x\in B$ , dejemos que $g(x)$ sea el menor elemento de $X\setminus\{g(y):y\prec x\}$ y luego elegir $f(x)\in X\setminus\bigcup_{y\prec x}\{f(y),\ h(y)g(x)^{-1}\}$ y que $h(x)=f(x)g(x)$ .
Si $x\in C$ , dejemos que $h(x)$ sea el menor elemento de $X\setminus\{h(y):y\prec x\}$ y luego elegir $f(x)\in X\setminus\bigcup_{y\prec x}\{f(y),\ h(x)g(y)^{-1}\}$ y que $g(x)=f(x)^{-1}h(x)$ .
Ahora tenemos biyecciones $f,g,h:X\to X$ tal que $f(x)g(x)=h(x)$ para todos $x\in X$ . (La inyectabilidad está clara en la definición; la subjetividad se puede demostrar por inducción transfinita).