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Bijección exótica de R a R

Es evidente que no hay biyecciones continuas f,g : RR tal que fg es una biyección de R a R .

Si omitimos el supuesto de continuidad, ¿existe un ejemplo así?

Notas: a seguir por los comentarios de Dustan: Notas: Por definición fg : xf(x)×g(x) y no fg . Si hubiera biyecciones continuas basta con mirar los límites de f y g en + y para concluir que fg no puede ser una biyección

15voto

echinodermata Puntos 1139

Dejemos que f(x)=x y definir g a trozos por g(x)={x,x(16,8](4,2]=k[24k,44k)4x,x(8,4](2,1]=k[4k,24k)0,x=0x,x[1,2)[4,8)=k[4k,24k)14x,x[2,4)[8,16)=k[24k,44k) (donde [b,a) sólo significa (a,b] ).

Este g es una biyección de R a R ya que

  • g mapas k[24k,44k) uno a uno en k[24k,44k) .
  • g mapas k[24k,44k) uno a uno en k[24k,44k) .
  • g mapas k[4k,24k) uno a uno sobre sí mismo.
  • g mapas k[4k,24k) uno a uno sobre sí mismo.
  • g mapas 0 a sí mismo.

Y fg es una biyección de R a R ya que

  • fg mapas k[24k,44k) uno a uno en k[416k,1616k) .
  • fg mapas k[24k,44k) uno a uno en k[16k,416k) .
  • fg mapas k[4k,24k) uno a uno en k[416k,1616k) .
  • fg mapas k[4k,24k) uno a uno en k[16k,416k) .
  • fg mapas 0 a sí mismo.

4voto

bof Puntos 19273

Con el axioma de elección podemos demostrar un resultado mucho más general:

Teorema. Si X es un grupo (o campo) infinito, entonces hay biyecciones f,g:XX tal que f(x)g(x)=x para todos xX .

Prueba. Bastará con probarlo para un grupo; si X es un campo infinito, podemos aplicar el teorema al grupo multiplicativo X{0} y luego extender las biyecciones a X al establecer f(0)=g(0)=0 . Además, bastará con construir tres biyecciones f,g,h:XX tal que f(x)g(x)=h(x) para todos xX Entonces fh1 y gh1 serán biyecciones cuyo producto es el mapa de identidad.

Dejemos que X sea un grupo infinito, |X|=κ y elija una ordenación adecuada de X tal que |{yX:yx}|<κ para cada xX . Partición X en conjuntos disjuntos A,B,C con |A|=|B|=|C|=κ . Definimos f,g,h:XX por inducción transfinita. Consideremos xX y supongamos que f(y),g(y),h(y) se han definido para todos los yx definimos f(x),g(x),h(x) de la siguiente manera.

Si xA , dejemos que f(x) sea el menor elemento de X{f(y):yx} y luego elegir g(x)Xyx{g(y), f1(x)h(y)} y que h(x)=f(x)g(x) .

Si xB , dejemos que g(x) sea el menor elemento de X{g(y):yx} y luego elegir f(x)Xyx{f(y), h(y)g(x)1} y que h(x)=f(x)g(x) .

Si xC , dejemos que h(x) sea el menor elemento de X{h(y):yx} y luego elegir f(x)Xyx{f(y), h(x)g(y)1} y que g(x)=f(x)1h(x) .

Ahora tenemos biyecciones f,g,h:XX tal que f(x)g(x)=h(x) para todos xX . (La inyectabilidad está clara en la definición; la subjetividad se puede demostrar por inducción transfinita).

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