Con el axioma de elección podemos demostrar un resultado mucho más general:
Teorema. Si X es un grupo (o campo) infinito, entonces hay biyecciones f,g:X→X tal que f(x)g(x)=x para todos x∈X .
Prueba. Bastará con probarlo para un grupo; si X es un campo infinito, podemos aplicar el teorema al grupo multiplicativo X∖{0} y luego extender las biyecciones a X al establecer f(0)=g(0)=0 . Además, bastará con construir tres biyecciones f,g,h:X→X tal que f(x)g(x)=h(x) para todos x∈X Entonces f∘h−1 y g∘h−1 serán biyecciones cuyo producto es el mapa de identidad.
Dejemos que X sea un grupo infinito, |X|=κ y elija una ordenación adecuada ≺ de X tal que |{y∈X:y≺x}|<κ para cada x∈X . Partición X en conjuntos disjuntos A,B,C con |A|=|B|=|C|=κ . Definimos f,g,h:X→X por inducción transfinita. Consideremos x∈X y supongamos que f(y),g(y),h(y) se han definido para todos los y≺x definimos f(x),g(x),h(x) de la siguiente manera.
Si x∈A , dejemos que f(x) sea el menor elemento de X∖{f(y):y≺x} y luego elegir g(x)∈X∖⋃y≺x{g(y), f−1(x)h(y)} y que h(x)=f(x)g(x) .
Si x∈B , dejemos que g(x) sea el menor elemento de X∖{g(y):y≺x} y luego elegir f(x)∈X∖⋃y≺x{f(y), h(y)g(x)−1} y que h(x)=f(x)g(x) .
Si x∈C , dejemos que h(x) sea el menor elemento de X∖{h(y):y≺x} y luego elegir f(x)∈X∖⋃y≺x{f(y), h(x)g(y)−1} y que g(x)=f(x)−1h(x) .
Ahora tenemos biyecciones f,g,h:X→X tal que f(x)g(x)=h(x) para todos x∈X . (La inyectabilidad está clara en la definición; la subjetividad se puede demostrar por inducción transfinita).