Término de traza en la fórmula de Itō

Question

Estoy leyendo Ecuaciones diferenciales estocásticas en dimensiones infinitas y no entienden lo que los autores hacen en Capítulo 2.3.1 . Permítanme presentar los objetos necesarios: Dejemos que

• $K$ y $H$ sean espacios de Hilbert reales
• $Q\in\mathfrak L(K)$ ser no negativo y simétrico
• $K_Q:=Q^{1/2}K$
• $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ sea un espacio de probabilidad
• $\Phi:\Omega\times[0,\infty)\to\operatorname{HS}(K_Q,H)$ y $\varphi:\Omega\times[0,\infty)\to H$
• $F:[0,\infty)\times H\to\mathbb R$ y $F_{xx}$ sea la segunda derivada de Fréchet de $F$ con respecto a la segunda variable

No entiendo el término $$\operatorname{tr}\left[F_{xx}(t,x)\left(\Phi_tQ^{\frac 12}\right)\left(\Phi_tQ^{\frac 12}\right)^\ast\right]\tag 1$$ que aparece en la ecuación (2.53).

Por definición, $F_{xx}$ es un elemento de $\mathfrak L(H,\mathfrak L(H,\mathbb R))$ . Sin embargo, los autores utilizan obviamente el hecho de que $\mathfrak L(H,\mathbb R)\cong H$ y por lo tanto $F_{xx}$ puede identificarse con un elemento de $\mathfrak L(H)$ . Con esta interpretación, tenemos $$\underbrace{F_{xx}(t,x)}_{\in\mathfrak L(H)}\underbrace{\underbrace{\left(\Phi_tQ^{\frac 12}\right)}_{\in\mathfrak L(K_Q,H)}\underbrace{\left(\Phi_tQ^{\frac 12}\right)^\ast}_{\in\mathfrak L(H,K_Q)}}_{\in\mathfrak L(H)}\in\mathfrak L(H)\;.$$ Por lo tanto, al menos tiene sentido hablar de la traza de esta expresión. Sin embargo, ¿podemos reescribir la expresión $(1)$ ¿sin la identificación?

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Por encima de $\mathfrak L(A,B)$ y $\operatorname{HS}(A,B)$ denotan el espacio de operadores lineales acotados y Operadores de Hilbert-Schmidt de $A$ a $B$ respectivamente. Además, $\mathfrak L(A):=\mathfrak L(A,A)$ y $L^\ast$ denota el adjunto de un operador lineal acotado $L$ .

Answer 1

La respuesta es: sí, podemos.

No es importante que hablemos de espacios de Hilbert reales. Entonces, sustituyamos $\mathbb R$ por $\mathbb K\in\left\{\mathbb C,\mathbb R\right\}$ en la pregunta.

Dejemos que

• $(t,x)\in[0,\infty)\times H$
• $(e_n)_{n\in\mathbb N}$ y $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ sean bases ortonormales de $K$ y $H$ , respectivamente

Tenga en cuenta que $$\tilde\Phi:=\Phi_tQ^\frac12\in\mathfrak L(K,H)$$ es clase de rastreo y que ${\rm D}^2F(t,x):=F_{xx}(t,x)\in\mathfrak L(H,\mathfrak L(H,\mathbb K))$ puede identificarse con $L\in\mathfrak L(H)$ , donde $$Lu:=\sum_{n\in\mathbb N}\overline{{\rm D}^2F(t,x)uf_n}f_n\;\;\;\text{for }u\in H\;.$$ Es fácil comprobar que $$\langle v,Lu\rangle={\rm D}^2F(t,x)uv\;\;\;\text{for all }u,v\in H\;.$$ Así, podemos concluir que $$\operatorname{tr}L\tilde\Phi\tilde\Phi^\ast=\sum_{n\in\mathbb N}\langle\tilde\Phi e_n,L\tilde\Phi e_n\rangle_H=\sum_{n\in\mathbb N}{\rm D}^2F(t,x)\left(\tilde\Phi e_n\right)\left(\tilde\Phi e_n\right)\;.$$