Encontrar las dos últimas cifras de $2^{2156789}$

Question

Encontrar las dos últimas cifras de $2^{2156789}$.

Mi intento:

#% La cifra de la unidad de $2156789 = 4* 539197 + 1$ %#% es similar a la cifra de la unidad de $2^{2156789}$ que es igual a 2. Pero soy incapaz de encontrar los diez dígitos. Por favor, ayúdame.

Answer 1

Obviamente tenemos $2^{2156789} \equiv 0 \pmod{2^2}$. Ahora como $100=2^2 \times 5^2$, sólo tenemos que encontrar el resto modulo $25$. Usar el hecho de que $2^{20} \equiv 1 \pmod {25}$ de la función φ de Euler y tendrás que: $2^{2156789} \equiv 2^{9} \equiv 12 \pmod {25}$

Ahora pegue los dos resultados usando el Teorema chino del resto para conseguir que las dos últimas cifras son $12$.

Answer 2

Podemos evitar CRT como $2^2\mid2^{2156789}$

$(2^{2156789},100)=2^2,$

vamos a encontrar $2^{2156789-2}\pmod{25}$

$\phi(25)=20$ Y $2156789-2\equiv7\pmod{20},$

$2^{2156789-2}\equiv2^7\pmod{25}\equiv3$

$\implies2^{2156789-2}\cdot2^2\equiv3\cdot2^2\pmod{25\cdot2^2}$

Answer 3

Así que la cuestión es encontrar $a \equiv 2^{2156789} \bmod 100$.

La función de Carmichael da la orden máxima de cualquier número $\bmod 100$. Calculado como $\lambda(100) = \text{lcm}(\phi(4),\phi(25)) = \text{lcm}(2,20) =20 $. (Sin embargo $2^{21}\not \equiv 2^1 \bmod 100 $ porque es de la multiplicidad de $2$ $100 $ $2$, $2^{41} \equiv 2^{21} \bmod 100 $).

Así que inmediatamente sabemos que $2^{2156789} \equiv 2^{9} \bmod 100$. Esto es muy fácil de calcular directamente, pero usted puede pasar por el exponentiation modular rápidamente demasiado: $$\begin{align} 2^4 &\equiv 16 \\ 2^8 &\equiv 16^2 \equiv 56 \\ 2^9 &\equiv 2\times 56 \equiv 12 \\ \hline \end {Alinee el} $$

Answer 4

Por lo tanto, queremos encontrar los dos últimos dígitos de algunos de potencia de dos. Estos números se repita infinitamente como a los poderes aumentan, por tanto, que nos intentan encontrar este patrón.

Partir de los 2^0 hemos perdido todos los sucesivos mod 100 restos:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, 4

De modo que 2^22 es el lugar donde se repite. El ciclo es de 20 de largo. Sin embargo, el primer poder puede ser eliminado.

Por lo tanto, (x-1) mod 20 = el índice de la correcta dos dígitos de la secuencia dentro del patrón donde x es alguna potencia de 2 se ha planteado.

2156788 mod 20 = 8

El octavo elemento en la secuencia es la respuesta...

Este número es 12.