Wikipedia dice que Dusart demostrado en 2010 que hay al menos un primer entre $x$y $\left(1 + \frac{1}{25\ln^2x}\right)x$ $x \geq 396738$. $x_0 = 396738$, Esto implica un primer entre $x_0$y $x_0+96$.
¿Mi pregunta es: es el más pequeño intervalo conocido de Dusart con al menos un primer? ¿O tal vez alguien obtuvo mejores resultados?
En realidad, hay un mejor resultado por debajo de un límite (ver Winther del comentario), conocido desde el año 2003. Consulte "Corto eficaz a intervalos que contienen los números primos" por Ramaré y Saouter. En la página 13,
Teorema 3: "Vamos A $x>10726905041$. Luego del intervalo, $$\Big]x\big(1-\tfrac{1}{28314000}\big),\;x\Big]$$ contiene al menos un primo".
Por ejemplo, si sustituimos en $x_0 = 10726905042$, Teorema 3, dice que hay al menos un primer entre,
$$x_0-378.8\quad \text{and}\quad x_0\tag1$$
Sin embargo, si utilizamos Dusart del resultado de 2010, el intervalo es,
$$x_0\quad \text{and}\quad x_0+804377.8\tag2$$
Así que dentro de ese obligado, Ramaré y Saouter del teorema de dar mucho más corto intervalo de Dusart.
(Edit: tenga en cuenta que la brecha entre los dos números primos consecutivos, $$p_2-p_1 = 10726905041-10726904659 = 382 > 378.8$$ y es #36 de los primeros 75 máxima lagunas. Por lo tanto, una razón por la $x > p_2$.)
Asintóticamente, Baker-Harman-Pintz es el resultado conocido: para suficientemente grande $x$ allí es siempre un primer en el intervalo $[x,x+x^{0.525}]$, pero no estoy seguro de que alguien se trabaja un valor explícito de "suficientemente grande". Este papel de Dudek da una estimación explícita de $[x^3, (x+1)^3]$, que otra vez es asintóticamente mucho mejor que $cx$ o $x/\log^2 x$.
La mejor manera incondicional resultado conocido es el que aparece a continuación Dusart en la página que enlaza a (https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_postulate#Better_results): Baker, Harman, y Pintz demostrado en el año 2001 (enlace a documento) que siempre hay un primer en el intervalo de $[x - x^{0.525}, x]$ $x$ lo suficientemente grande. (No especificar de qué tamaño es lo suficientemente grande, pero afirman que esto podría ser determinado "con suficiente esfuerzo".) Para razonablemente grandes,$x$, $x^{0.525}$ brecha es mucho menor que cualquiera de las $x/28314000$ o $x/(25 \ln^2 x)$.
Además, Harald Cramér demostrado de forma condicional en la hipótesis de Riemann, que el $x^{0.525}$ puede ser reducido a $O(\sqrt x \ln x)$, y que conjeturó (https://en.wikipedia.org/wiki/Cram%C3%A9r%27s_conjecture) que puede reducirse incluso a $O(\ln^2 x)$. Esto parece mucho más allá de lo que podía esperar a probar en el futuro cercano, pero es el más fuerte que se ve obligado probable que sea cierto.
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