Hay un continuo inyectiva mapa de $\mathbb{R}$ que ha compacto de la imagen?

Question

Supongamos que tengo una función $f: \mathbb{R} \to X$ donde $X$ es no-espacio métrico compacto.

Es posible que $f$ es inyectiva sin embargo tiene una imagen compacta? Si la respuesta es sí, ¿qué caracteriza a estos casos? ¿Qué propiedades adicionales haría que la respuesta negativa?

Mi progreso hasta ahora: Si la imagen es compacto, $f(n)$ tiene un convergentes larga con límite en la imagen, es decir, $f(a_n) \to f(a)$ donde $a_n \to \infty$. Pero me resulta difícil de desactivar el límite en la igualdad.

Answer 1

Tome $X = \mathbb{R}^2$ $f$ una inmersión de $\mathbb{R}$, lo que hace que la figura de un ocho:

Answer 2

Sí, es posible. Considere una función de $f\colon {\bf R}\to {\bf R}^2$ que toma la línea a un doble topologist de la curva sinusoidal, un bucle en torno través de la central de intervalo.

Este mapa puede ser hecho para ser diferenciable, y una longitud de arco parametrisation, por lo que requieren de esta propiedad no hará que la respuesta negativa (no incluso además de exigir $X$ a ser euclidiana).