Cómo usar correctamente GAGA correspondencia

Question

en la actualidad el estudio de superficies algebraicas sobre los números complejos. Antes he hecho un poco de geometría algebraica (I,II,inicio de la III de Hartshorne) y un curso sobre las superficies de Riemann.

Ahora entendía que por GAGA, una gran cantidad de transferencia de resultados de la compleja geometría analítica a la geometría algebraica $\mathbb{C}$. Pregunta: en mi RS superficie supuesto, el género para un compacto de la RS se define como el número de agujeros, formalmente la mitad de la dimensión de la primera de rham cohomology grupo (o singular con coeficientes en un cierto campo de característica cero). Ahora me encontré con el algebraicas definición: la dimensión de la primera cohomology grupo de la estructura de la gavilla.

Espero que sean la misma, pero no una prueba rápida. ¿Alguien puede mostrarme cómo funciona esto? Aprendí que de rham cohomology con coeficientes en $\mathbb{C}$ corresponde a la gavilla cohomology de la constante gavilla $\mathbb{C}$. Sin embargo no estoy seguro, alguien puede confirmar esto o decirme por qué no es cierto? Si es verdad, me resulta difícil de trabajar, ya que hasta ahora he sido, básicamente, el uso de la dualidad de Serre y Riemann-Roch para conjuntos para reducir la computación en la homología de los espacios de computación global de las secciones, sin embargo, debido a la constante gavilla no es localmente libre no puedo aplicar este truco (o puedo?). También, la constante gavilla tiene sentido tanto en forma algebraica y analítica, así que debo tomar en el de rham <-> constante gavilla de la correspondencia? O qué tanto trabajo? (con GAGA en mente, espero que ellos tienen el mismo cohomology, pero esto podría no ser cierto)

Así que resumiendo

• Hacer ambas definiciones de género de acuerdo? (por supuesto, suponiendo que la curva algebraica para ser suave, por lo que es un RS)
• Si lo hacen, ¿me puedes mostrar una prueba? (de preferencia con alguna gavilla cohomology)
• Es verdad eso de de rham cohomology corresponde a la gavilla cohomology de la constante de la gavilla, si lo es el de la analítica de uno, el algebraicas uno, o ambos?
• Estoy limitándome innecesariamente por el uso de Riemann-Roch y Serre la dualidad sólo para paquetes, es decir se puede utilizar para todas las poleas?

Por último, al responder a mis preguntas, sería inmensamente agradecido si pudiera elaborar un poco sobre cómo usar GAGA en general.

Espero que esto tenga sentido, tengo la sospecha de que ellos sean preguntas tontas una vez que yo los entiendo, pero ahora mismo es un fuzz para mí..

Joachim

Edit: acabo de encontrar un resultado de la teoría de Hodge para superficies en Beauville, afirmando $h^{0}(S,\Omega^1_S) = \frac{1}{2}h^{1}(S,\mathbb{R})$, todos los cohomology de ser analítica. Así, suponiendo (1) lo mismo ocurre para las curvas y (2) GAGA identifica la algebraica y analítica de la cotangente del paquete, la dualidad de Serre los estados que el lado izquierdo es igual a $h^{1}(C,\mathcal{O}_C)$, es decir, el género se encuentra en mi bolso el libro de texto y me resultó un thingwhat quería a prueba. Yo estaba tratando de encontrar una referencia en la teoría de Hodge para que yo pudiera comprobar (1), pero un análisis rápido dado resultados. ¿Alguien tiene una buena idea sobre esto?

También me preguntaba acerca de (2) para un tiempo más largo, yo estaría muy feliz con cualquier comentario sobre este.

Answer 1

En primer lugar, permítanme enfatizar lo Serre hizo : en 1956, escribió un artículo Géométrie algébrique et géométrie analytique, que todo el mundo llama GAGA (yo le oí explicar que él escogió deliberadamente el título, así que esto iba a pasar!).
En este artículo se demuestra que muchos de los resultados, el quid de la cuestión, que es que los cálculos para la coherencia poleas en un proyectiva compleja variedad $X$ dar el mismo (o isomorfo) resultados como aquellos que se realiza en el subyacente holomorphic variedad $X^h$.

Sin embargo, él no considerar no coherente poleas y por una buena razón: si, por ejemplo, considerar la constante gavilla $\mathbb C_X$$X$, es flácido ("flasque"), de modo que todos sus cohomology grupos desaparecen: $H^i(X,\mathbb C_X)=0$, mientras que el curso de la cohomology espacios vectoriales $H^i(X^h,\mathbb C_{X^h})$ no son cero en general:
Por ejemplo, si $X$ es una suave curva proyectiva de género $g$, $X^h$ es una superficie de Riemann y $dim _\mathbb C H^1(X^h,\mathbb C_{X^h})=2g $.

Afortunadamente gracias a la rica técnicas conocidas para holomorphic colectores aparentemente muchos trascendental invariantes de un proyectiva lisa colector puede ser calculada usando sólo coherente de las poleas.
Un espléndido ejemplo es Dolbeault de 1953 resultado de los números de Betti $$b_r(X^h)=\sum_{p+q=r} dim_\mathbb C H^q (X^h,\Omega_{X^h}^p)$$ Since the right hand size is cohomology of coherent sheaves,it can be calculated algebraically thanks to GAGA: $$ dim_\mathbb C H^q (X^h,\Omega_{X^h}^p)=dim_\mathbb C H^q (X,\Omega_{X}^p) $$ En particular, para una suave curva proyectiva $X$, el género de la asociada a la superficie de Riemann $X^h$ se da de manera algebraica por $$g(X^h)=\frac {1}{2}(b_1(X^h))=\frac {1}{2}(dim_\mathbb C H^1 (X,\mathcal O_X)+dim_\mathbb C H^0 (X,\Omega_{X}^1))$$, donde los dos sumandos de la derecha son iguales por la dualidad de Serre (él otra vez!).

Advertencia Esta respuesta se pretende dar respuesta a su solicitud "sería inmensamente agradecido si pudiera elaborar un poco sobre cómo usar GAGA en general ", de no mostrar el más corto o el más elemental de la carretera técnicamente responder a sus preguntas sobre las superficies de Riemann.