Cómo usar correctamente la correspondencia GAGA

Question

Actualmente estoy estudiando superficies algebraicas sobre los números complejos. Antes hice algo de geometría algebraica (I, II, inicio de III de Hartshorne) y un curso sobre superficies de Riemann.

Ahora entiendo que por GAGA, muchos resultados se transfieren de la geometría analítica compleja a la geometría algebraica sobre $\mathbb{C}$. Pregunta: en mi curso de superficies de Riemann, el género para una superficie compacta de Riemann se definió como el número de agujeros, formalmente la mitad de la dimensión del primer grupo de cohomología de De Rham (o singular con coeficientes en algún campo de característica cero). Ahora me encontré con la definición algebraica: la dimensión del primer grupo de cohomología del haz de estructura.

Espero que sean iguales, pero no encontré una prueba rápida. ¿Alguien puede mostrarme cómo funciona esto? Aprendí que la cohomología de de Rham con coeficientes en $\mathbb{C}$ corresponde a la cohomología de haces del haz constante $\mathbb{C}$. Sin embargo, no estoy seguro, ¿alguien puede confirmar esto o decirme por qué no es cierto? Si es cierto, me resulta difícil trabajar con eso, ya que hasta ahora básicamente he estado usando dualidad de Serre y Riemann Roch para haces para reducir el cálculo de homología al cálculo de espacios de secciones globales, sin embargo, como el haz constante no es localmente libre, no puedo aplicar este truco (¿o sí puedo?). Además, el haz constante tiene sentido tanto algebraica como analíticamente, entonces ¿cuál debo tomar en la correspondencia de de Rham <-> haz constante? ¿O ambos funcionan? (con GAGA en mente, espero que tengan la misma cohomología, pero esto podría no ser cierto)

Entonces resumiendo

• ¿Coinciden ambas definiciones de género? (por supuesto asumiendo que la curva algebraica sea suave, por lo que es una superficie de Riemann)
• Si lo hacen, ¿puedes mostrarme una prueba? (preferiblemente usando algo de cohomología de haces)
• ¿Es verdad que la cohomología de de Rham corresponde a la cohomología de haces del haz constante, en caso afirmativo es el analítico, el algebraico, o ambos?
• ¿Me estoy limitando innecesariamente al usar Riemann Roch y dualidad de Serre solo para haces, es decir, puedo usarlos para todos los haces?

Por último, al responder mis preguntas, sería inmensamente apreciado si pudieras elaborar un poco sobre cómo usar GAGA en general.

Espero que esto tenga sentido, sospecho que son preguntas tontas una vez que las entienda, pero por ahora es confuso para mí..

Joachim

Editar: acabo de encontrar un resultado de la teoría de Hodge para superficies en Beauville, que establece $h^{0}(S,\Omega^1_S) = \frac{1}{2}h^{1}(S,\mathbb{R})$, toda la cohomología siendo analítica. Entonces asumiendo (1) que lo mismo se cumple para curvas y (2) que GAGA identifica el fibrado cotangente algebraico y analítico, la dualidad de Serre establece que el lado izquierdo es igual a $h^{1}(C,\mathcal{O}_C)$, es decir, el género encontrado en mi libro de geometría algebraica y probé una cosa que quería probar. Estaba intentando encontrar una referencia sobre la teoría de Hodge para poder verificar (1) pero un escaneo rápido no arrojó resultados. ¿Alguien tiene una buena idea sobre esto?

También he estado pensando en (2) durante mucho tiempo, estaría realmente feliz con cualquier comentario al respecto.

Answer 1

Primero permítanme enfatizar lo que hizo Serre: en 1956 escribió un artículo Géométrie algébrique et géométrie analytique, que todo el mundo llama GAGA (¡lo escuché explicar que eligió deliberadamente el título para que esto sucediera!).
Este artículo demuestra muchos resultados, cuya esencia es que los cálculos para haces coherentes en una variedad compleja proyectiva $X$ dan los mismos resultados (o isomorfos) que aquellos realizados en la variedad holomórfica subyacente $X^h$.

Sin embargo, él no consideró haces no coherentes y con buena razón: si por ejemplo consideramos el haz constante $\mathbb C_X$ en $X$, es flácido ("flasque") lo que hace que todos sus grupos de cohomología se anulen: $H^i(X,\mathbb C_X)=0$, mientras que por supuesto, los espacios vectoriales de cohomología $H^i(X^h,\mathbb C_{X^h})$ no son cero en general:
Por ejemplo, si $X$ es una curva proyectiva suave de género $g$, entonces $X^h$ es una superficie de Riemann y $dim _\mathbb C H^1(X^h,\mathbb C_{X^h})=2g$.

Afortunadamente, gracias a las técnicas ricas conocidas para las variedades holomorfas, muchos invariantes aparentemente trascendentales de una variedad proyectiva suave se pueden calcular usando solo haces coherentes.
Un ejemplo es el resultado de Dolbeault de 1953 para los números de Betti $$b_r(X^h)=\sum_{p+q=r} dim_\mathbb C H^q (X^h,\Omega_{X^h}^p)$$ Dado que el lado derecho es la cohomología de haces coherentes, puede calcularse algebraicamente gracias a GAGA: $$ dim_\mathbb C H^q (X^h,\Omega_{X^h}^p)=dim_\mathbb C H^q (X,\Omega_{X}^p) $$ En particular, para una curva proyectiva suave $X$, el género de la superficie de Riemann asociada $X^h$ se da algebraicamente por $$g(X^h)=\frac {1}{2}(b_1(X^h))=\frac {1}{2}(dim_\mathbb C H^1 (X,\mathcal O_X)+dim_\mathbb C H^0 (X,\Omega_{X}^1))$$ donde los dos sumandos a la derecha son iguales por la dualidad de Serre (¡él de nuevo!).

Advertencia Esta respuesta está destinada a abordar tu solicitud "sería inmensamente apreciado si pudieras elaborar un poco sobre cómo usar GAGA en general", no a mostrar el camino más corto o más elemental para responder técnicamente tus preguntas sobre superficies de Riemann.