La existencia de este cociente establecer dependen del Axioma de Elección?

Question

Sabemos que el familiar equivalente a la relación en $\mathbb{R}$, que es $$ x\sim y\Leftrightarrow x-y\in\mathbb{Q} $$

Después de citar esta relación, tenemos el conjunto cociente $$ \mathbb{R}/_\sim = \{x + \mathbb{Q} : x\in\mathbb{R}\} $$

Sé que si queremos construir un conjunto de elementos representativos de la anterior relación, necesitamos que el Axioma de Elección. Así que si escribo $$ \mathbb{R}/_\sim = \{[x] : x\in\mathbb{R}\text {, representantes}\} $$

Necesito AC. Pero mi pregunta es, ¿la existencia de $\mathbb{R}/_\sim$ en la primera fórmula necesario el axioma?

A mi entender, la existencia de un cociente de conjunto no tiene nada que ver con el Axioma de Elección.

Answer 1

Usted no necesita elección para la existencia de $\mathbb{R}/{\sim}$, pero usted no necesita elección para afirmar que no hay un conjunto de $\sim$-representantes de la clase.

Para demostrar esto: podemos decir $$\mathbb{R}/{\sim} = \{ A \in \mathcal{P}(\mathbb{R}) \, :\, (\forall y,z \in A)(\forall q \in \mathbb{Q})(y-z \in \mathbb{Q} \wedge y+q \in A) \} \setminus \{ \varnothing \}$$ Esto puede ser probado a existir dentro de $\mathsf{ZF}$, debido a que podemos definir $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathcal{P}(\mathbb{R}), +, -, \setminus, \varnothing$ $\mathsf{ZF}$ y, a continuación, aplicar la Separación.

Pero un conjunto de coset representantes es precisamente (la imagen de) una función de elección para $\mathbb{R}/{\sim}$, la existencia de la cual no requiere el axioma de elección.

Answer 2

El cociente existe bien.

Considerar el mapa de $x\mapsto\{x+q\mid q\in\Bbb Q\}$ como una función de $\Bbb R$ a $\mathcal P(\Bbb R)$. Esta función es perfectamente definible sin el axioma de elección. En el hecho de que acabamos de definir. Y por el axioma de reemplazo sabemos que la imagen de un conjunto bajo una definida función es un conjunto.

Y ¿qué es la imagen? Es exactamente $\Bbb R/\sim$.