¿Qué es? $\hat{p}|x\rangle$ ?

Question

Tratando de resolver un problema de oscilador armónico QM descubrí que necesito calcular $\hat{p}|x\rangle$ , donde $\hat{p}$ es el operador de momento y $|x\rangle$ es un estado propio del operador de posición, con $\hat{x}|x\rangle = x|x\rangle$ . Resulta que $\hat{p}|x\rangle$ debe ser igual a $-i\hbar\frac{ \partial |x\rangle }{\partial x}$ . ¿Pero qué significa esto? No sé qué hacer con una expresión así. Si trato de encontrar $\langle x | \hat{p} | x_0 \rangle$ Termino con $-i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \delta(x-x_0)$ que estoy bastante seguro de que no está permitido ni siquiera en física, donde nos burlaríamos de frases como " $\delta$ es realmente una distribución y no una función".

Editar: Motivación. He resuelto la ecuación de Heisenberg y he encontrado, para un Hamiltoniano $H = p^2/2m + m\omega^2x^2/2$ que $\hat{x}(t) = \hat{x}_0 \cos(\omega t) + \frac{\hat{p}_0}{m\omega} \sin(\omega t)$ . Me dan que el estado inicial es $|\psi(0)\rangle = |x_0\rangle$ es decir, un estado propio de la posición, y tengo la corazonada de que al encontrar $\hat{x}(t)|x_0\rangle$ Podría encontrar una manera de conseguir $|\psi(t)\rangle$ . Pero no es esto lo que necesito; ahora tengo curiosidad por saber qué $\hat{p}|x\rangle$ puede ser, no importa mi problema original.

Answer 1

La fórmula que citas es más o menos correcta, pero te animaría a darle la vuelta. Más concretamente, la antigua identificación del momento como una derivada significa que $$\langle x |\hat p|\psi\rangle=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\langle x |\psi\rangle,$$ y a partir de ahí se puede "anular" el $\psi$ para conseguir $$\langle x |\hat p=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\langle x |.$$ (Más concretamente, ambos son funcionales lineales del espacio de Hilbert correspondiente en $\mathbb C$ y coinciden en todos los estados del espacio de Hilbert, por lo que deben coincidir como funcionales lineales). Esta es la forma que realmente se utiliza en las formulaciones cotidianas, por lo que tiene más sentido mantenerla así, aunque por supuesto se puede tomar su conjugado hermitiano para encontrar una expresión para $\hat p|x\rangle$ .

En cuanto a tu malestar por la derivada de una función delta, debo asegurarte que es un objeto perfectamente legítimo para tratar. La mejor manera de tratarlo es mediante la integración por partes: para cualquier función que se comporte bien $f$ $$ \int_{-\infty}^\infty \delta'(x)f(x)\text dx = \left.\delta(x)f(x)\vphantom\int\right|_{-\infty}^\infty-\int_{-\infty}^\infty \delta(x)f'(x)\text dx = -f'(0). $$ En esencia, esto define una distribución (diferente), que puede llamarse legítimamente $\delta'$ . Es esta distribución la que aparece si se sustituye $|\psi\rangle$ para $|x_0\rangle$ en mi primera identidad: $$\langle x |\hat p|x_0\rangle=-i\hbar\delta'(x-x_0).$$

Answer 2

Su estado $\left|x\right>$ tendrá alguna expansión en la base de energía definida de estados estacionarios para el oscilador armónico,

$$ \left|x\right> = \sum \alpha_n \left|n\right>. $$

Puede encontrar todos estos $\alpha_n$ cambiando entre $\hat x$ y los operadores de la escalera,

\begin{align*} \hat x &= \sqrt\frac{\hbar}{2m\omega} \left( a^\dagger + a \right) = \frac{x_0}{\sqrt2} \left( a^\dagger + a \right), \end{align*}

donde $x_0 = \sqrt{\hbar/m\omega}$ es la escala de longitud del potencial. Calculando $\hat x \left|x\right> = x \left|x\right>$ nos da \begin{align*} x \sum \alpha_n \left|n\right> &= \frac{x_0}{\sqrt2} \sum_{n=0}^\infty \alpha_n \left( \sqrt{n+1}\left|n+1\right> + \sqrt n \left|n-1\right> \right) \\ &= \frac{x_0}{\sqrt2} \left( \alpha_1 \left|0\right> + \sum_{n=1}^\infty \big( \alpha_{n-1}\sqrt n + \alpha_{n+1} \sqrt{n+1} \big) \left|n\right> \right) \end{align*}

Coincidencia de los términos que se multiplican $\left|n=0\right>$ nos dice que el valor propio de $\hat x$ se fija por la relación $\alpha_1/\alpha_0$ y los coeficientes de todos los demás $\left|n\right>$ se fijan por una doble relación de recurrencia.

En esa base, $$ \hat p = \frac{i\hbar}{x_0\sqrt2}\left( a^\dagger - a \right), $$ y su efecto en $\left|x\right>$ puede calcularse sin necesidad de realizar aterradoras derivadas de las deltas.

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Para conectar un poco mejor con tu pregunta sobre el modelado, aquí tienes un gráfico de una aproximación a un estado propio de posición $\left|x=x_0\right>$ truncado en $\left|n=50\right>$ junto con la misma aproximación para $\hat p\left|x\right>$ y una derivada numérica. Puedes ver cómo $\left|x\right>$ tenderá a un $\delta$ como términos con mayor $\left|n\right>$ se incluyen, y en qué sentido la forma de $\hat p\left|x\right>$ tenderá a $-\delta'$ .