¿Es ésta la forma correcta de realizar la inducción matemática? (re: derivada de $z^n$ es $nz^{n-1}$ )

Question

He aquí una pregunta:

Derivar $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} z^n = nz^{n-1},$$ cuando n es un número entero positivo utilizando la inducción matemática y la derivada de un producto de dos funciones $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} f(z)g(z) = f(z)g'(z) + f'(z)g(z).$$

Esto es lo que hice. ¿Esta inducción matemática se realiza correctamente?

Caso base: n = 1 $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} z^1 = 1z^{1-1}$$ $$1 = 1$$

El caso base es cierto.

Paso inductivo: Asumir que es cierto para $n = k$ , muestran que son verdaderos para $k + 1$ .

Así que muestra: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} z^{(k+1)} = (k+1)z^{(k+1) - 1} = (k+1)z^k$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} z^{(k+1)} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} z^kz.$$

Utilizar la derivada de un producto de dos funciones: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} z^kz =z^k\cdot 1 + kz^{k-1}\cdot z$$ $$ =z^k + kz^k$$ $$ = (k+1)z^k$$

Entonces, como el caso base se mantiene y el paso inductivo se mantiene, ¿esto significa que la afirmación original es válida?

Answer 1

Tienes todo el trabajo correcto, pero necesitas pulirlo un poco.

Para el caso base, muestre secuencialmente cómo comienza con la base y termina con lo que muestra la demanda:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} z^1 = 1 = 1 \cdot z^{1 - 1}$$

Así que la afirmación se mantiene para el caso base. (En realidad, es válida para $n = 0$ también, así que verifique cuál es su base).

A continuación, supongamos que la afirmación es válida para todos los $k \geq 1$ . Entonces, si podemos demostrar que esa suposición implica que la afirmación es válida para $k + 1$ entonces la afirmación es válida para todo $n \geq 1.$

Entonces, tenemos

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} z^{k+1} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} z^k \cdot z = z \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} z^k + z^k \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} z = z \cdot (kz^{k-1}) + z^k = kz^k + z^k = (k+1)z^k$$

Por lo tanto, la afirmación es válida para todos los $n \geq 1$ .

Esto es algo a lo que hay que prestar atención cuando se demuestra cualquier cosa. Es sutil, pero hace que las pruebas sean mucho más legibles. Empieza con lo que sabes y continúa hasta que llegues a la conclusión que quieres. No quieras empezar con lo que quieres y manipular hasta que consigas lo que tienes. Aunque en muchas situaciones es equivalente en validez, no siempre y nunca es la mejor técnica para demostrar que una afirmación es verdadera.

Answer 2

El paso de inducción es obvio si se trabaja con derivadas logarítmicas.

$\qquad\ (fg)' =\: f\:'g + fg'\ $ cuando se divide por $fg$ se convierte en

$\qquad\dfrac{(fg)'}{fg}\: =\: \dfrac{f\:'}f + \dfrac{g'}g\ $ que, en términos de $\:D(f) := \dfrac{f\:'}f\: $ se convierte en

$\qquad D(fg)\: =\: D(f) + D(g)\ $ la ley "logarítmica" de la derivada logarítmica $D$

$\ \Rightarrow\ D(x^n)\: =\: n\: D(x)\ $ por un obvio inducción (¡prueba!)

$\ \Rightarrow\ \dfrac{(x^n)'}{x^n}\: =\: n\:\dfrac{1}x $

$\ \Rightarrow\ \: (x^n)' =\: n\ x^{n-1}$