Anillo de la teoría de la notación pregunta

Question

Me pregunto cuál es la notación $R[a]$ realmente representa, si $a\in K$ donde $K$ es un anillo y $R$ es un sub-anillo de $K$.

En mi libro se definen $\mathbb{Z}[\sqrt2]=\{a+b\sqrt2|a,b \in \mathbb{Z}\}$.

Por lo tanto, mi conjetura es que el $R[a] = \{P(a)\mid P \in R[X]\}$. Ya para $\mathbb{Z}[\sqrt2]$ este es el caso, o es sólo una coincidencia?

Answer 1

Por definición, $R[a]$ es el más pequeño sub-anillo de $K$ que contiene tanto $R$$a$.

Como nota, si $p(x)\in R[x]$, $p(a)\in R[a]$ necesariamente. Por lo tanto, $$\{p(a)\mid p(x)\in R[x]\} \subseteq R[a].$$ Por el contrario, tenga en cuenta que $$\{p(a)\mid p(x)\in R[x]\}$$ contiene $a$ ($p(a)$ donde $p(x)=x$), contiene $R$ (la constante de polinomios); y es un sub-anillo de $K$: cada elemento como el es $K$; es no vacío; es cerrado bajo las diferencias (desde $p(a)-q(a) = (p-q)(a)$); y es cerrado bajo de los productos (desde $p(a)q(a) = (pq)(a)$). Por lo tanto, $R[a]\subseteq \{p(a)\mid p(x)\in R[x]\}$. Por lo tanto, tenemos la igualdad.

Más generalmente, si $a$ integral $R$ (cumple un monic polinomio con coeficientes en $R$, dejando $n$ ser el más pequeño grado de monic polinomio que está satisfecho por $a$),$R[a] = \{r_0 + r_1+\cdots + r_{n-1}a^{n-1}\mid r_i\in R\}$.

Para ver esto, observe que claramente el lado derecho se encuentra en el lado izquierdo. Para demostrar el recíproco de la inclusión, vamos a $p(x)$ ser un monic polinomio de menor grado tal que $p(a)=0$. Haciendo inducción sobre el grado, podemos demostrar de la forma habitual que cada elemento de a $f(x)$ $R[x]$ puede ser escrito como $f(x)=q(x)p(x) + r(x)$ donde $r(x)=0$ o $\deg(r)\lt deg(p)$; la razón de ser en la que el coeficiente de $p$$1$, por lo que podemos realizar el largo algoritmo de división sin problemas. Por lo tanto, $f(a) = q(a)p(a)+r(a) = r(a)$, por lo que cada elemento de a $R[a]$ puede ser expresado como en el lado derecho.

En el caso de que $a=\sqrt{2}$, $R=\mathbb{Z}$, $K=\mathbb{R}$ (o $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$), tenemos que $a$ satisface $x^2-2$< es por eso que tenemos $$\mathbb{Z}[\sqrt{2}] = \{ p(\sqrt{2})\mid p(x)\in\mathbb{Z}[x]\} = \{r_0+r_1\sqrt{2}\mid r_0,r_1\in\mathbb{Z}\}.$$