Radio espectral en el álgebra de Banach

Question

Dejemos que $A$ sea un álgebra de Banach unital y $a\in A$ y $\lambda \in \rho(a)$ . Quiero demostrar que $$r(R(a,\lambda))=\frac{1}{d(\lambda,\sigma(a))}.$$ donde $R(a,\lambda)=(\lambda 1-a)^{-1}$ y $r(.)$ es el radio espectral.

Doy esta pista: demostrar el resultado si $A$ es conmutativo entonces hazlo para el caso general.

Estoy tratando de hacer esto pero lo único que puedo probar es $\|R(a,\lambda)\|\ge\frac{1}{d(\lambda,\sigma(a))}$ pero como $r(.)\le \|.\|$ las cosas no cuadran. y cuando se trata del caso general no estoy seguro de cómo pasar del caso conmutativo al caso general Tengo la sensación de que esto tiene que ver con $r(.)$ siendo semicontinua superior. Por favor, ayuda. Gracias.

Answer 1

No hay necesidad de asumir $A$ conmutativa. Consideremos la función holomorfa $$ f(z)=\frac{1}{\lambda -z} $$ en $\mathbb{C}\setminus\{\lambda\}$ que es una vecindad abierta del espectro $\sigma(a)$ de $a$ . El cálculo funcional holomórfico da sentido a $$ f(a)=(\lambda 1-a)^{-1}. $$ y rendimientos, por el mapeo espectral: $$ \sigma(f(a))=f(\sigma(a)). $$ Por lo tanto, $$ r(f(a))=\max_{\beta\in \sigma(f(a))}|\beta|=\max_{\alpha \in \sigma(a)}|f(\alpha)|=\max_{\alpha\in\sigma(a)}\frac{1}{|\lambda-\alpha| }=\frac{1}{\min_{\alpha\in \sigma(a)}|\lambda-\alpha|}=\frac{1}{d(\lambda,\sigma(a))} $$ donde $d(\lambda,\sigma(a))=\inf_{\alpha\in \sigma(a)} |\lambda -\alpha|=\min_{\alpha\in \sigma(a)} |\lambda -\alpha|$ por la compacidad del espectro.