Conjetura: la secuencia de la suma de todos los números primos consecutivos contiene un número infinito de números primos

Question

A partir del 2, la secuencia de la suma de todos los números primos consecutivos es:

$$\begin{array}{lcl}2 &=& 2\\ 2+3 &=& 5 \\ 2+3+5 &=& 10 \\ 2+3+5+7 &=& 17 \\ 2+3+5+7+11 &=& 28 \\ &\vdots& \end{array} $$ Si el $n^\text{th}$ prime es $P_n$, entonces podemos escribir $S_n=\sum_{i=1}^n P_n$.

Suponemos que la secuencia de $S_n$ contiene un número infinito de números primos.

Dudo que yo soy la primera persona que alguna vez a pensar en esto, pero no puedo encontrar la referencia a la idea, ni puedo concebir una prueba, ni una refutación. Computacionalmente, se verifica que $$S_{13,932}=998,658,581=P_{50,783,012},$$ y la secuencia muestra ningún signo de desaceleración.

Se puede demostrar la secuencia de $S_n$ contiene un número infinito de números primos?

Answer 1

Como Se Jagy señala, una prueba es, probablemente, fuera de su alcance, pero la instrucción es probablemente cierto.

Uno puede dar un argumento heurístico. El $n$-ésimo primo es roughtly $n\log n$, lo $S_n$ es de aproximadamente

$$S_n \approx \sum_{i=1}^n i \log i \approx \frac{n^2(2\log n - 1)}{4}.$$

La densidad de los primos de alrededor de $x$ es de aproximadamente $1/\log x$, por lo que la probabilidad de que $S_n$ es primo es de aproximadamente

$$1/\log\left(\frac{n^2(2\log n - 1)}{4}\right) \approx \frac{1}{2\log n + \log(2\log n-1) - \log 4} \approx \frac{1}{2\log n}.$$

Por lo que el número esperado de números primos entre $S_1, \dots, S_n$ es de aproximadamente

$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{2\log i} \approx \frac{\text{li}(n)}{2},$$

que va a$\infty$$n\to \infty$.

(Acabo de ver que Greg Martin llegó a la misma conclusión en los comentarios.)

Answer 2

Buscando "el primer particiones" podría ayudar a encontrar información previa para esta conjetura.

Otra conjetura sería la suma de las lagunas de números primos consecutivos, $g_n = p_{n+1} - p_n$: $$s = \sum_{i=1}^{n}g_i,$$ having an infinite number of primes. Considering the fact that the next prime is $p_{n+1} = s + 2$ uno podría pensar que sería fácil, pero no lo es.