¿Por qué se invierte el signo de desigualdad al dividir por un número negativo?

Question

Todos aprendimos en nuestros primeros años que al dividir ambos lados por un número negativo, invertimos el signo de la desigualdad.

Tome $-3x < 9$

Para resolver $x$ dividimos ambos lados por $-3$ y obtener

$$x > -3.$$

¿A qué se debe la inversión de la desigualdad? ¿Qué va en términos de la recta numérica que me ayudará a entender mejor el concepto?

Answer 1

Dividir por un número negativo es lo mismo que dividir por un número positivo y luego multiplicar por $-1$ . Al dividir una desigualdad por un número positivo se mantiene la misma desigualdad. Pero, al multiplicar por $-1$ es lo mismo que cambiar los signos de los números en ambos lados de la desigualdad, lo que invierte la desigualdad: $$ \tag{1} a\lt b\quad\iff -a\gt -b. $$ Deberías ser capaz de convencerte de por qué lo anterior es cierto observando la recta numérica y considerando los distintos casos implicados.

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Ver por qué (1) es cierto no es demasiado difícil.

Este es el enfoque de agitar las manos que sugerí anteriormente:

Consideremos, por ejemplo, en (1), el caso en que $a$ es negativo y $b$ es positivo. Tenemos $a<b$ . Entonces $-a$ es positivo y $-b$ es negativo. Por lo tanto, tenemos $-b<-a$ .

Como otro caso, supongamos $a$ y $b$ son ambos negativos con $a<b$ . Cambiando los signos aquí hace que los números resultantes sean ambos positivos con $-a>-b$ (puedes verlo dibujando los puntos en la recta numérica y observando que con las condiciones dadas, $b$ está más cerca del origen que $a$ ):

).

Los demás casos pueden tratarse de forma similar.

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Pero, tal vez sea necesario un poco de rigor aquí.

Recordemos que
$$a<b\quad\text{ if and only if }\quad b-a\quad \text{ is positive.}$$ Ahora, $b-a$ es positivo si y sólo si $(-a)-(-b) =-a+b=b-a$ es positivo. Así que $a<b$ si y sólo si $-a> -b$ .

Answer 2

Multiplicar o dividir una desigualdad por $-1$ es exactamente lo mismo que mover cada término al otro lado. Pero entonces, si cambias de lado todos los términos, cada término se enfrenta al "lado" opuesto del signo de desigualdad...

Por ejemplo:

$2x < -3$

Moviéndolos en el otro lado cede:

$3 < -2x$ que es lo mismo que $-2x > 3$ ...

Answer 3

Dejemos que $c$ sea un número negativo. En el caso de multiplicar ambos lados de una desigualdad por $c$ , tenga en cuenta que la función $f$ definido por $f(x) = cx$ es estrictamente decreciente en toda la recta real. Por definición, esto significa que si $x_{1} < x_{2},$ entonces $f\left(x_{1}\right) > f\left(x_{2}\right)$ (es decir $cx_{1} > cx_{2}$ ). Por cierto, esto equivale a $x_{2} > x_{1}$ que implica $f\left(x_{2}\right) < f\left(x_{1}\right)$ Así que $f$ también invierte ambos tipos de desigualdades estrictas. Además, no es difícil ver que una función estrictamente decreciente invierte ambos tipos de no estricto desigualdades. En cuanto a la división de los dos lados por un número negativo, hay que tener en cuenta que la función $g$ definido por $g(x) = \frac{1}{c}x$ es estrictamente decreciente en toda la recta real. La misma explicación se puede utilizar para tomar el recíproco de ambos lados de una desigualdad, cuando ambos lados son positivos o cuando ambos lados son negativos. En general, si una función $h$ es estrictamente decreciente en un intervalo $I$ entonces podemos "tomar $h$ " de ambos lados de una desigualdad siempre que ambos lados pertenezcan a $I$ e invertimos la desigualdad. Del mismo modo, las funciones estrictamente crecientes preservan las desigualdades. Esto da una aplicación a veces útil de la tarea de cálculo de determinar en qué intervalo(s) una función puede ser creciente o decreciente, por cierto. Por ejemplo, $\arctan(x)$ es estrictamente creciente en toda la recta real, por lo que se puede tomar la arctangente de ambos lados de una desigualdad (manteniendo el tipo de desigualdad).

Answer 4

Considere $-2<4$ Dividiendo por $-2$ da $1>-2$ . Si no, tendrías $1<-2$ lo cual es falso.

Answer 5

HINT $\rm\ \ \ 9\: >\: -3\:x \iff 3(x+3)\: >\: 0 \iff x+3\: >\: 0 \iff x\: >\: -3$

Por lo tanto, al trasladarlo a la comparación con $\:0$ hemos reducido la comparación a una aplicación del ley de los signos, es decir, por encima de si $\rm\ y > 0\ $ entonces $\rm\ yz > 0\iff z>0\ $ donde $\rm\ y = 3,\ \ z = x+3\ $ arriba.