Encontrar todos los pares de números enteros $(a,b)$ tal que $\frac{a^4-b+1}{ab}$ es un número entero.
$b=1$ trivialmente da infinitas soluciones ya que la expresión se convierte en $a^3$ . No soy capaz de encontrar más soluciones. Probé el descenso infinito de Fermat para demostrar que no hay soluciones y me quedé atascado... También he empezado a repasar el salto de raíz de Vieta. Me pueden ayudar en como proceder... ¡Gracias!
Es sólo el principio.
Necesitas $a\mid b-1$ y $b\mid a^4+1$ . Dado que esto implica $a,b$ son relativamente primos, esto es necesario y suficiente.
Sabemos que $b$ tiene que ser el producto si primos $\equiv 1\pmod 8$ y posiblemente un factor de $2$ .
Para cualquier $a$ necesita encontrar un $k$ tal que $(ak+1)\mid a^4+1$ . Tal $k$ vienen en parejas.
Para $a\leq 7$ , $a^4+1$ es primo o dos veces primo, por lo que sólo existen las soluciones triviales $b=1,a^4+1.$
Para $a=8$ , $8^4+1=17\cdot 241$ Así que $b=17$ o $b=241$ es una solución.
$9^4+1=2\cdot 17\cdot 193$ que no tiene divisor no trivial $\equiv 1\pmod 9$ por lo que no hay $b$ .
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Algunas soluciones, si eso ayuda: $(1,-2), (1,-1), (1,2), (2,-17), (2,-1), (2,17), (3,-41), (3,-2), (3,82), (4,257), (8,17),$ $(8,241), (9,-386), (9,-17), (14,-41), (27,82), (30,241), (43,-386), (64,257)$
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¡Oh, bien! Estás poniendo el numerador igual a 0, ¿verdad?
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No, sólo un script python (p.ej. $\frac{30^4-241+1}{30\cdot241}=112$ ). Me faltan ideas para solucionar esto.
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¡Muchas gracias! Puedo acabar con el resto... (8, 17) también da un entero distinto de cero
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No, $(2,-1)$ hace que la fracción $\frac {18}{-2}=-9$ . Otros también no hacen el numerador $0$ .