Calcular el $\int_{0}^{\infty} x^{a-1} \cos(x) \ \mathrm dx = \Gamma(a) \cos (\pi a/2)$

Question

Mi objetivo es calcular la integral

$\int_{0}^{\infty} x^{a-1} \cos(x) dx = \Gamma(a) \cos (\pi a/2)$,

donde $0<a<1$, y mi libro de texto proporciona la sugerencia: integrar a $z^{a-1} e^{iz}$ alrededor de la frontera de un cuarto disco.

Sin embargo, yo no podía entender cómo el control de la integral a lo largo del trimestre arco. Cualquier sugerencias?

Answer 1

Considere la integral de contorno

$$\oint_C dz \, z^{a-1} \, e^{i z}$$

donde $C$ es un cuarto de círculo de radio de $R$ en el 1er cuadrante (reales e imaginarios $> 0$), con un pequeño cuarto de círculo de radio de $\epsilon$ sobre el origen de corte (para evitar el punto de ramificación en el origen).

Esta integral es igual a

$$\int_{\epsilon}^R dx \, x^{a-1} \, e^{i x} + i R^a \int_0^{\pi/2} d\theta \, e^{i a \theta} e^{i R \cos{\theta}} \, e^{-R \sin{\theta}}\\+ i \int_R^{\epsilon} dy \, e^{i \pi (a-1)/2} y^{a-1} e^{-y} + i \epsilon^a \int_{\pi/2}^0 d\phi \, e^{i a \phi} \, e^{i \epsilon e^{i \phi}}$$

Tomamos nota de que la segunda integral se desvanece como $R\to\infty$ porque $\sin{\theta} \gt 2 \theta/\pi$, por lo que la magnitud de la integral está delimitado por

$$R^a \int_0^{\pi/2} d\theta \, e^{-R \sin{\theta}} \le R^a \int_0^{\pi/2} d\theta \, e^{-2 R \theta/\pi} \le \frac{2}{\pi R^{1-a}}$$

Tomamos nota también de que el cuarto integral desvanece como $\epsilon^a$$\epsilon \to 0$. En la tercera integral, escribimos $i=e^{i \pi/2}$ hacer una simplificación.

El contorno de la integral es cero por Cauchy Teorema (sin polos en el interior de $C$). Ths tenemos (+)

$$\int_{0}^{\infty} dx \, x^{a-1} \, e^{i x} - e^{i \pi a/2} \int_0^{\infty} dy \, y^{a-1} \, e^{-y}=0$$

Se utiliza la definición de la función gamma:

$$\Gamma(a) = \int_0^{\infty} dy \, y^{a-1} \, e^{-y}$$

y tomar partes reales de (+) para obtener el codiciado resultado.

Answer 2

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}% \newcommand{\yy}{\Longleftrightarrow}$ $\ds{\int_{0}^{\infty}x^{- 1}\cos\pars{x}\,\dd x = \Gamma\pars{un}\cos\pars{\pi \over 2}:\ {\large ?}.\quad\int_{0}^{\infty}x^{- 1}\cos\pars{x}\,\dd x = \Re\int_{0}^{\infty}x^{- 1}\expo{\ic x}\,\dd x}$

Con el cambio de variable $x \equiv \expo{\ic\pi/2}t$, tendremos: \begin{align} &\int_{0}^{\infty}x^{a - 1}\cos\pars{x}\,\dd x = \Re\int_{0}^{-\ic\infty}\pars{\expo{\ic\pi/2}t}^{a - 1}\expo{-t}\ic\,\dd x = \Re\bracks{\expo{\ic\pi a/2}\int_{0}^{-\ic\infty}t^{a - 1}\expo{-t}\,\dd x} \\[3mm]&= \Re\braces{\expo{\ic\pi a/2}\bracks{-\int_{\infty}^{0}t^{a - 1}\expo{-t}\,\dd x}} = \Re\bracks{\expo{\ic\pi a/2}\ \overbrace{\int_{0}^{\infty}t^{a - 1}\expo{-t}\,\dd x\ }^{\ds{=\ \Gamma\pars{a}}}} = \overbrace{\ \Re\bracks{\expo{\ic\pi a/2}}\ }^{\ds{=\ \cos\pars{\pi a/2}}} \Gamma\pars{a} \end{align}

$$\color{#0000ff}{\large% \int_{0}^{\infty}x^{- 1}\cos\pars{x}\,\dd x \color{#000000}{=} \Gamma\pars{un}\cos\pars{\pi \over 2}} $$

Answer 3

Recientemente he leído un breve, pero interesante, artículo por Boas y Friedman, donde los autores calcularon esta misma integral mediante el uso de un tipo diferente de contorno:

un triángulo con vértices $-p_{1}, \;\ p_{2}, \;\ (p_{1}+p_{2})i$.

Considere la posibilidad de $R(z)e^{iz}$, donde R(z) es una función racional que se desvanece en $\infty$

A continuación, $p_{1}, \;\ p_{2}$ son llevados a ser lo suficientemente grande como para encerrar a los polacos en la UHP.

En lugar de utilizar el arco de un círculo en el primer cuadrante, el uso de un segmento de línea recta.

Dejando $p_{1}, \;\ p_{2} \to \infty$ la integral sobre el eje real es igual a $2\pi i$ veces la suma de los residuos en la UHP.

Este cálculo se reivindica a ser más sencillo debido a que la pendiente de la triangular de contorno se apartó de 0 en la UHP.

Conectar los puntos de $z=p, \;\ z=pi$, con una línea más bien que el arco de un círculo.

En esta línea, $|dz|=\sqrt{2}dy$$\frac{1}{|z|}\leq \frac{\sqrt{2}}{p}$.

De ello se deduce inmediatamente que la integral sobre la línea está limitada por un número constante de veces

$p^{s-1}\int_{0}^{p}e^{-y}dy\leq p^{s-1}$ , lo que tiende a 0 $p\to \infty$ desde $s<1$.

No he incluido todas las complejidades, de modo que si alguno está interesado en buscar más de este artículo es en JSTOR. Buscar "una simplificación en ciertos contorno integrales".